Question

8．科學(xué)家觀察到太陽系外某恒星有-行星，并測得該行星繞恒星運行一周所用的時間為1200年．行星與恒星的距離為地球到太陽距離的100倍．假定行星繞恒星運行的軌道和地球繞太陽運行的軌道都是圓形軌道．則利用以上數(shù)據(jù)可以求出的量有（　　）

• A． 行星與地球的質(zhì)量之比
• B． 恒星與太陽的質(zhì)量之比
• C． 恒星與太陽的密度之比
• D． 行星與地球的運行速度之比

Answer 1

分析 根據(jù)行星的萬有引力等于向心力，結(jié)合行星的軌道半徑和公轉(zhuǎn)周期列式求出恒星質(zhì)量的表達(dá)式進(jìn)行討論即可；
根據(jù)行星的萬有引力等于向心力，求解環(huán)繞速度進(jìn)行討論．

解答 解：行星繞恒星做勻速圓周運動，設(shè)恒星質(zhì)量為M，行星質(zhì)量為m，軌道半徑為r，根據(jù)萬有引力提供向心力得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=$\frac{m•4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$①
得：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，
同理，太陽質(zhì)量為
M′=$\frac{4{π}^{2}r{′}^{2}}{GT{′}^{2}}$
由于地球的公轉(zhuǎn)周期為1年，故可以求得恒星質(zhì)量與太陽質(zhì)量之比，B正確；
由于①式中，行星質(zhì)量可以約去，故無法求得行星質(zhì)量，故A錯誤；
由于恒星與太陽的體積均不知，故無法求出它們的密度之比，故C錯誤；
根據(jù)萬有引力提供向心力得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，其中r表示行星、地球的運行半徑，M為而太陽和恒星的質(zhì)量，所以求出行星與地球的運行速度之比，故D正確．
故選：BD

點評 本題關(guān)鍵是根據(jù)行星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，列方程求出太陽和恒星的質(zhì)量和環(huán)繞速度，然后分析即可．