Question

如圖所示，足夠長的金屬導(dǎo)軌MN、PQ平行放置，間距為L，與水平面成θ角，導(dǎo)軌與定值電阻R₁和R₂相連，且R₁=R₂=R，R₁支路串聯(lián)開關(guān)S，原來S閉合．勻強(qiáng)磁場垂直導(dǎo)軌平面向上，有一質(zhì)量為m、有效電阻也為R的導(dǎo)體棒ab與導(dǎo)軌垂直放置，它與導(dǎo)軌的接觸粗糙且始終接觸良好，現(xiàn)讓導(dǎo)體棒ab從靜止開始釋放，沿導(dǎo)軌下滑，當(dāng)導(dǎo)體棒運(yùn)動達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)速率為V，此時(shí)整個(gè)電路消耗的電功率為重力功率的

3

4

．已知重力加速度為g，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，求：
（1）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后導(dǎo)體棒ab中的電流強(qiáng)度I；
（2）如果導(dǎo)體棒ab從靜止釋放沿導(dǎo)軌下滑x距離后運(yùn)動達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，在這一過程中回路中產(chǎn)生的電熱是多少？
（3）導(dǎo)體棒ab達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后，斷開開關(guān)S，從這時(shí)開始導(dǎo)體棒ab下滑一段距離后，通過導(dǎo)體棒ab橫截面的電量為q，求這段距離是多少？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動時(shí)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)速率為V，重力功率為mgVsinθ．由E=BLV、I=

E

R總

、P_電=I²R_總，得到回路的總電功率P_電，根據(jù)電功率為重力功率的

3

4

，列式求磁感應(yīng)強(qiáng)度B．并求出通過ab棒的電流I；
（2）根據(jù)重力功率等于電功率與克服摩擦力做功功率之和，列式求出摩擦力大小，由能量守恒求回路中產(chǎn)生的電熱；
（3）S斷開后，由法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電量公式q=It，得到電量q與距離的關(guān)系，即可求出距離．

解答：解：（1）回路中的總電阻為：R_總=

3

2

R
當(dāng)導(dǎo)體棒ab以速度V勻速下滑時(shí)棒中的感應(yīng)電動勢為：E=BLV
此時(shí)棒中的感應(yīng)電流為：I=

E

R總

此時(shí)回路的總電功率為：P_電=I²R_總
此時(shí)重力的功率為：P_重=mgVsinθ．
據(jù)題給條件有：P_電=

3

4

P重
解得：I=

mgVsinθ 2R

，B=

3

2L

mgRsinθ 2V

 
（2）設(shè)導(dǎo)體棒ab與導(dǎo)軌間的滑動摩擦力大小為f，根據(jù)能的轉(zhuǎn)化和守恒定律可知：
   P_重=P_電+fV
則有

1

4

mgVsinθ=fV
解得：f=

1

4

mgsinθ
導(dǎo)體棒ab減少的重力勢能等于增加的動能、回路中產(chǎn)生的焦耳熱以及克服摩擦力做功的和：
   mgsinθ?x=

1

2

mV2+Q+fx
解得：Q=

3

4

mgsinθ?x-

1

2

mV2
（3）S斷開后，回路中的總電阻為：R_總′=2R
設(shè)這一過程經(jīng)歷的時(shí)間為△t，這一過程回路中的平均感應(yīng)電動勢為

.

E

，通過導(dǎo)體棒ab的平均感應(yīng)電流為

.

I

，導(dǎo)體棒ab下滑的距離為S，則：
 

.

E

=

△Φ

△t

=

BLS

△t

，

.

I

=

. E

R總′

=

BLS

2R△t

得：q=

.

I

△t=

BLS

2R

解得：S=

4q

3

2VR mgsinθ

答：
（1）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小

3

2L

mgRsinθ 2V

，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后導(dǎo)體棒ab中的電流強(qiáng)度I為

mgVsinθ 2R

；
（2）如果導(dǎo)體棒ab從靜止釋放沿導(dǎo)軌下滑x距離后運(yùn)動達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，在這一過程中回路中產(chǎn)生的電熱是

3

4

mgsinθ?x-

1

2

mV2；
（3）導(dǎo)體棒ab達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后，斷開開關(guān)S，從這時(shí)開始導(dǎo)體棒ab下滑一段距離后，通過導(dǎo)體棒ab橫截面的電量為q，這段距離是

4q

3

2VR mgsinθ

．

點(diǎn)評：解答本題關(guān)鍵是通過分析功率關(guān)系，求出磁感應(yīng)強(qiáng)度和摩擦力，是電磁感應(yīng)與電路結(jié)合的題目，明確電路的結(jié)構(gòu)解決問題．同時(shí)，對于感應(yīng)電量，要很熟練地根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電量公式q=It進(jìn)行推導(dǎo)．