Question

13．如圖甲所示，在豎直平面內建立一平面直角坐標系xoy，x軸沿水平方向．第二象限內有一水平向右的場強為E₁的勻強電場，第一、四象限內有一正交的場強為E₂豎直向上的勻強電場和磁感應強度為B的勻強交變磁場，勻強磁場方向垂直紙面．從A點以v₀=4m/s豎直向上射出一個比荷為$\frac{q}{m}$=10²C/kg的帶正電的小球（可視為質點），并以v₁=8m/s的速度從y軸上的C點水平向右進入第一象限，且在第一象限內剛好沿圓弧作圓周運動．取小球從C點進入第一象限的時刻為t=0，磁感應強度按圖乙所示規(guī)律變化（以垂直紙面向外的磁場方向為正方向），g=10m/s²．求：

（1）小球從A點運動到C點的時間t₁和勻強電場E₂的場強；
（2）x軸上有一點D，OD=OC，若帶電粒子在通過C點后的運動過程中不再越過y軸且沿x軸正方向通過D點，求磁感應強度B₀和磁場的變化周期T₀．

Answer 1

分析 （1）將粒子在第二象限內的運動分解為水平方向和豎直方向，得出兩個方向上的運動規(guī)律，結合運動學公式和牛頓第二定律求解；
（2）若帶電微粒在通過C點后的運動過程中不再越過y軸，要使其恰能沿x軸正方向通過D點，作出粒子的運動的軌跡圖，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，得出粒子在磁場中運動的半徑大小，結合幾何關系，求出磁感應度的通項表達式，再根據(jù)周期的關系求出磁場的變化周期T₀的通項表達式．

解答 解：（1）小球從A到C豎直方向受重力作用做勻減速運動，有：${t_1}=\frac{v_0}{g}$…①
小球進入第一象限內恰作圓周運動，有：mg-qE₂=0…②
解代入數(shù)據(jù)得：
t₁=0.4s…③
E₂=0.1N/C…④
（2）設粒子在第一象限內做圓周運動運動圓軌道半徑為R，周期為T，C到O的距離為y，作出其運動軌跡如圖所示．

則有：${B_0}q{v_1}=m\frac{v_1^2}{R}$…⑤，$y=\frac{v_0^2}{2g}$…⑥
要粒子沿x軸通過通過D點，則由圖中幾何關系有：y=n（2R）…⑦
$T=\frac{2πR}{v_1}$…⑧
$t=n（\frac{T}{2}）=n{T_0}$…⑨
聯(lián)解⑤⑥⑦⑧⑨得：
B₀=0.2n（T）（n=1，2，3…）或B₀=0.1n （T）（n=2，4，6…），${T_0}=\frac{π}{20n}$（s）（n=1，2，3…）或${T_0}=\frac{π}{10n}$（s）  （n=2，4，6…）
答：（1）小球從A點運動到C點的時間為0.4s，勻強電場E₂的場強為0.1N/C；
（2）磁感應強度為0.2n（T）（n=1，2，3…）或B₀=0.1n （T）（n=2，4，6…），磁場的變化周期為$\frac{π}{20n}$（s）（n=1，2，3…）或$\frac{π}{10n}$（s）  （n=2，4，6…）．

點評 本題中質點在復合場運動，分析受力情況，確定質點的運動情況是解題的基礎．結合粒子運動的周期性以及臨界狀態(tài)，運用數(shù)學幾何知識綜合求解．