Question

17．如圖所示，足夠長(zhǎng)的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2的水平長(zhǎng)直軌道，與光滑的半圓形圓弧軌道，位于同一豎直面內(nèi)．兩軌道于B點(diǎn)相切相連．一小物塊以初速度v₀=4m/s沿水平直軌道由A向B運(yùn)動(dòng)，并從B沖上半圓形軌道．A、B兩點(diǎn)距離L=1m．
（1）若小物塊運(yùn)動(dòng)至半圓形軌道最高點(diǎn)C時(shí)，軌道對(duì)它的壓力等于它的重力．則物塊從脫離軌道至再次落回至水平軌道上時(shí)的位移為多大？
（2）只改變半圓形光滑軌道的半徑，就可使小物塊的運(yùn)動(dòng)不與軌道脫離，要出現(xiàn)此種情況半圓形光滑軌道的半徑應(yīng)滿足什么條件？在此種情況下，小物塊最終停下來(lái)的位置距離A有多遠(yuǎn)？

Answer 1

分析 （1）小物塊經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，由重力和軌道的壓力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求物塊在C點(diǎn)時(shí)的速度．從A到C，運(yùn)用動(dòng)能定理求出軌道半徑．物塊離開(kāi)軌道后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求水平位移，由幾何關(guān)系求出位移．
（2）當(dāng)物塊沿光滑半圓形軌道上升的最大高度小于等于其半徑時(shí)，物塊的運(yùn)動(dòng)將不與軌道脫離．由動(dòng)能定理求軌道的半徑應(yīng)滿足的條件，并對(duì)全程列式，求小物塊最終停下來(lái)的位置距離A的距離．

解答 解：（1）設(shè)半圓形光滑軌道的半徑為R，小物塊的質(zhì) 量為M，在C點(diǎn)時(shí)的速度為v_C．
由A至C過(guò)程：$\frac{1}{2}$Mv_C²-$\frac{1}{2}$Mv₀²=-μMgL-Mg（2R）
小物塊與C點(diǎn)：$\frac{M{{v}_{C}}^{2}}{R}$=Mg+N
據(jù)題 N=Mg
代入數(shù)值聯(lián)立解得：R=0.2 m，v_C=2 m/s
設(shè)物塊從脫離軌道至再次落回至水平軌道的過(guò)程中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，水平分位移為x，位移為s．則：
豎直方向有 2R=$\frac{1}{2}$gt²
水平方向有 x=v_Ct
物塊從脫離軌道至再次落回至水平軌道上時(shí)的位移：s=$\sqrt{（2R）^{2}+{x}^{2}}$
聯(lián)立解得：s=0.4$\sqrt{3}$ m≈0.7 m
（2）當(dāng)物塊沿光滑半圓形軌道上升的最大高度小于等于其半徑時(shí)，物塊的運(yùn)動(dòng)將不與軌道脫離．
設(shè)：物塊沿光滑半圓形軌道上升的最大高度為H
物塊由開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至沿光滑半圓形軌道上升的最大高度的過(guò)程，由動(dòng)能定理：
   0-$\frac{1}{2}$Mv₀²=-MgH-μMgL
物塊的運(yùn)動(dòng)不與軌道脫離的條件：
   R≥H
代入數(shù)值解得：R≥0.6 m
設(shè)此種情況下物塊沿水平軌道運(yùn)動(dòng)的路程為l；小物塊停下來(lái)的位置與A的距離為△s．
物塊由開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至最終停止，由動(dòng)能定理得：
-μMgl=0-$\frac{1}{2}$Mv₀²
△s=|2L-l|
解得：△s=2 m
答：（1）物塊從脫離軌道至再次落回至水平軌道上時(shí)的位移為0.7 m．
（2）要出現(xiàn)此種情況半圓形光滑軌道的半徑應(yīng)滿足的條件是：R≥0.6 m．在此種情況下，小物塊最終停下來(lái)的位置距離A有2m．

點(diǎn)評(píng) 本題要分析清楚物塊的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，把握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法研究平拋運(yùn)動(dòng)．要知道滑動(dòng)摩擦力與總路程有關(guān)．