3.如圖(a)所示,水平放置的平行金屬板A、B間加直流電壓U,A板正上方有“V”字型足夠長的絕緣彈性擋板.在擋板間加垂直紙面的交變磁場,磁感應(yīng)強度隨時間變化如圖(b),垂直紙面向里為磁場正方向,其中B1為已知,B2為未知,比荷為$\frac{q}{m}$、不計重力的帶正電粒子從靠近B板的C點靜止釋放,t=0時刻,粒子剛好從小孔O進入上方磁場中,在 t1時刻粒子第一次撞到左擋板,緊接著在t1+t2時刻(t1、t2均為末知)粒子撞到右擋板,然后粒子又從O點豎直向下返回C點.此后粒子立即重復(fù)上述過程,做周期性運動.粒子與擋板碰撞前后電量不變,沿板的分速度不變,垂直板的分速度大小不變、方向相反,不計碰撞的時間及磁場變化產(chǎn)生的感應(yīng)影響.求:

(1)粒子第一次到達O點時的速率;
(2)圖中B2的大小;
(3)金屬板A和B間的距離d.
(4)若粒子每次與金屬板碰撞時間為t0,則每次碰撞板受到的沖擊力為多少?

分析 帶電粒子在電場中先加速,進入交變磁場后交替做逆時針、順時針、逆時針方向圓周運動,之后返回O點在電場中最后回到出發(fā)點.由粒子運動的特殊性和周期性畫出粒子的運動軌跡,由運動學(xué)規(guī)律、牛頓第二定律、動能定理等相應(yīng)知識來求解.
(1)由動能定理求出進入磁場的速度.
(2)由題意,在t1 時間內(nèi)粒子做逆時針圓弧運動,由對稱性粒子偏轉(zhuǎn)60°,碰撞后速度方向變?yōu)樨Q直向上.在t2時間內(nèi)粒子做順時針方向圓周運動,劃過半圓后,再與另一板相碰.再做逆時針圓周運動的軌跡與先前的軌跡對稱,由時間關(guān)系和周期公式就能求出B1與B2關(guān)系.
(3)要使粒子重復(fù)地做周期性地往返運動,則粒子在電場中加速減速的時間與交變磁場的周期有一定的關(guān)系,先找出該關(guān)系,再根據(jù)勻變速直線運動規(guī)律求出AB兩板間距.
(4)顯然由動量定理求出每次粒子與擋板相碰時的沖擊力.

解答 解:(1)粒子從B板到A板過程中,電場力做正功,根據(jù)動能定理有$Uq=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$.
   解得粒子第一次到達O點時的速率$v=\sqrt{\frac{2Uq}{m}}$ 
(2)粒子進入上方后做勻速圓周運動,洛倫茲力提供向心力,由qvB=$\frac{mv2}{r}$   
   得粒子做勻速圓周運動的半徑${r}_{1}=\frac{mv}{{B}_{1}q}$,${r}_{2}=\frac{mv}{{B}_{2}q}$
   使其在整個裝置中做周期性的往返運動,運動軌跡如右圖所示,

   由圖易知:r1=2r2       圖中B2=2B1    
(3)在0~t1時間內(nèi),粒子做勻速圓周運動周期${T}_{1}=\frac{2π{r}_{1}}{v}=\frac{2πm}{{B}_{1}q}$   
    在t1~(t1+t2)時間內(nèi),粒子做勻速圓周運動的周期${T}_{2}=\frac{2πm}{{B}_{2}q}=\frac{πm}{{B}_{1}q}$
   由軌跡圖可知${t}_{1}=\frac{1}{6}{T}_{1}=\frac{πm}{3{B}_{1}q}$,${t}_{2}=\frac{1}{2}{T}_{2}=\frac{πm}{2{B}_{1}q}$  
   粒子在金屬板A和B間往返時間為t,有$d=\frac{0+v}{2}×\frac{t}{2}$
   且滿足:t=t2+n(t1+t2),n=0,1,2,3,----
    聯(lián)立可得金屬板A和B間的距離:$d=\frac{π(3+5n)}{24{B}_{1}}\sqrt{\frac{2Um}{q}}$,n=0,1,2,3,----
(4)在垂直于板的方向上由動量定理有:2mv0sin30°=Ft0(1分)
  所以$F=\frac{2m{v}_{0}sin30°}{{t}_{0}}$=$\frac{m{v}_{0}}{{t}_{0}}$
答:(1)粒子第一次到達O點時的速率為$\sqrt{\frac{2Uq}{m}}$.
(2)圖中B2的大小2B1
(3)要使粒子重復(fù)地做周期性地往返運動,則粒子在電場中加速減速的時間與交變磁場的周期有一定的關(guān)系,先找出該關(guān)系,再根據(jù)勻變速直線運動規(guī)律求出AB兩板間距為$d=\frac{π(3+5n)}{24{B}_{1}}\sqrt{\frac{2Um}{q}}$     n=0,1,2,3,----
(4)若粒子每次與金屬板碰撞時間為t0,則每次碰撞板受到的沖擊力為$\frac{m{v}_{0}}{{t}_{0}}$

點評 本題的難點在于①找到粒子做周期性往復(fù)運動的軌跡,由幾何關(guān)系找到半徑關(guān)系,從而求出磁感應(yīng)強度的關(guān)系.②求AB板間距,交變磁場的周期與粒子在電場中的時間有一定的關(guān)系:粒子在電場中加速或減速的時間為粒子做三個圓周運動的總時間的整數(shù)倍,顯然是一個多解問題.

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