Question

我國航天技術世界領先，天宮、神八相繼發(fā)射成功，由此激發(fā)了我們對地球運動的深入研究．設地球和太陽的質(zhì)量分別為m和M，地球繞太陽作橢圓運動，軌道的半長軸為a，半短軸為b，如圖所示．（已知：地球的勢能為-

GMm

r

其中r是地球與太陽的距離），試求
（1）由能量與行星運動規(guī)律寫出，地球在橢圓頂點A、B、C三點的運動速度v_A，v_B，v_C有關的方程組．
（2）由（1）有關的方程組求出地球在橢圓頂點A、B、C三點的運動速度v_A，v_B，v_C．
（3）求出地球運動軌跡在A、C兩點的曲率半徑ρ_A、ρ_C．
（以上有關結果由G、M、m、a、b表示）

Answer 1

分析：（1、2）地球做橢圓運動的過程中，機械能守恒．根據(jù)機械能守恒定律，開普勒第二定律以及a、b、c的關系列出表達式，并求出A、B、C的速度大�。�
（3）將A、C兩點的萬有引力沿切向和法向進行分解，沿法向方向上的合力提供向心力，根據(jù)該規(guī)律求出A、C兩點的曲率半徑．

解答：解：（1）針對地球從A點運動到B點的過程，機械能守恒

1

2

mv_A²+（-G

Mm

a-c

）=

1

2

mv_B²+（-G

Mm

a+c

）  ①
比較A、B兩點，應用開普勒第二定律，有：v_A（a-c）=v_B（a+c）②
結合橢圓的基本關系：c=

a2-b2

 ③
（2）解以上三式可得：v_A=

a+ a2-b2

b

GM a

 ④，
v_B=

a- a2-b2

b

GM a

⑤
再針對地球從A到C的過程，應用機械能守恒定律，有

1

2

mv_A²+（-G

Mm

a-c

）=

1

2

mv_C²+（-G

Mm

a

）代入v_A值可解得：v_C=

GM a

⑥
（3）為求A、C兩點的曲率半徑，在A、C兩點建自然坐標，然后應用動力學（法向）方程．
在A點，F(xiàn)_萬=ΣF_n=m a_n，設軌跡在A點的曲率半徑為ρ_A，即：G

Mm

(a-c)2

=m

v 2 A

ρA

代入v_A值可解得：ρ_A=

b2

a

在C點，須將萬有引力在τ、n方向分解，如圖所示．然后，F(xiàn)_萬n=ΣF_n=m a_n，即：F_萬cosθ=m

v 2 C

ρC

即：G

Mm

a2

?

b

a

=m

v 2 C

ρC

  
代入v_C值可解得：ρ_C=

a2

b

故地球運動軌跡在A、C兩點的曲率半徑分別為ρ_A=

b2

a

、ρ_C=

a2

b

．

點評：解決本題的關鍵抓住地球做橢圓運動的過程中機械能守恒，以及知道地球在做橢圓運動的過程中，萬有引力沿法向的合力提供向心力．