Question

【題目】如圖，光滑水平桌面上有一個(gè)矩形區(qū)域abcd，bc長度為2L，cd長度為1.5L，e、f分別為ad、bc的中點(diǎn)。efcd區(qū)域存在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；質(zhì)量為m、電荷量為+q的絕緣小球A靜止在磁場(chǎng)中f點(diǎn)。abfe區(qū)域存在沿bf方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為；質(zhì)量為km的不帶電絕緣小球P，以大小為的初速度沿bf方向運(yùn)動(dòng)。P與A發(fā)生彈性正碰，A的電量保持不變，P、A均可視為質(zhì)點(diǎn)。

（1）求碰撞后A球的速度大�。�

（2）若A從ed邊離開磁場(chǎng)，求k的最大值；

（3）若A從ed邊中點(diǎn)離開磁場(chǎng)，求k的可能值和A在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間。

Answer 1

【答案】（1）（2）1（3）或；

【解析】

（1）設(shè)P、A碰后的速度分別為vP和vA，P碰前的速度為

由動(dòng)量守恒定律：

由機(jī)械能守恒定律：

解得：

（2）設(shè)A在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為R， 由牛頓第二定律得：

解得：

由公式可得R越大，k值越大

如圖1，當(dāng)A的軌跡與cd相切時(shí)，R為最大值，

求得k的最大值為

（3）令z點(diǎn)為ed邊的中點(diǎn)，分類討論如下：

（I）A球在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)一次從z點(diǎn)就離開磁場(chǎng)，如圖2有

解得：

由可得：

（II）由圖可知A球能從z點(diǎn)離開磁場(chǎng)要滿足，則A球在磁場(chǎng)中還可能經(jīng)歷一次半圓運(yùn)動(dòng)后回到電場(chǎng)，再被電場(chǎng)加速后又進(jìn)入磁場(chǎng)，最終從z點(diǎn)離開。

如圖3和如圖4，由幾何關(guān)系有：

解得：或

由可得：或

球A在電場(chǎng)中克服電場(chǎng)力做功的最大值為

當(dāng)時(shí)，，由于

當(dāng)時(shí)，，由于

綜合（I）、（II）可得A球能從z點(diǎn)離開的k的可能值為：或

A球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期為

當(dāng)時(shí)，如圖4，A球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間

即