Question

（2010?孝感一模）假設(shè)太陽(yáng)系內(nèi)某行星和地球的公轉(zhuǎn)軌道均為圓形，且在同一平面內(nèi)，如圖所示，半徑較小的軌道是某行星公轉(zhuǎn)的軌道，半徑較大的軌道是地球公轉(zhuǎn)的軌道．在地球上觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)該行星與太陽(yáng)可呈現(xiàn)的視角（太陽(yáng)與行星均看成質(zhì)點(diǎn)，它們與眼睛連線的夾角）有最大值，并且最大視角的正弦值為

16

25

．則該行星的公轉(zhuǎn)周期為多少年？

Answer 1

分析：根據(jù)幾何關(guān)系求出星球的軌道半徑和地球的軌道半徑的關(guān)系，結(jié)合萬(wàn)有引力提供向心力求出軌道半徑和周期的關(guān)系，從而得出行星的公轉(zhuǎn)周期．

解答：解：行星與太陽(yáng)的最大視角出現(xiàn)的情況是地球上的人的視線看行星時(shí)，視線與行星的軌道相切，如圖所示．α為最大視角，由圖可知，
sinα=

r星

r地

由題意有：sinα=

16

25

所以

r星

r地

=

16

25

對(duì)于環(huán)繞太陽(yáng)運(yùn)行的任一行星有：

GMm

r2

=mr

4π2

T2

（式中M為太陽(yáng)質(zhì)量）
即

T2

r3

=

4π2

GM

所以有：

T星2

T地2

=

r星3

r地3

將上面兩星軌道半徑比值代入有：T_星=

64

125

T_地=0.512年．
答：該行星的公轉(zhuǎn)周期為0.512年．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力這一理論，本題對(duì)數(shù)學(xué)能力要求較高，需加強(qiáng)訓(xùn)練．