Question

13．如圖所示，一根勻質(zhì)繩質(zhì)量為m，其兩端固定在天花板上的A、B兩點(diǎn)，在繩的中點(diǎn)懸掛一重物，質(zhì)量為M，懸掛重物的繩PQ質(zhì)量不計(jì)．設(shè)α、β分別為繩子端點(diǎn)和中點(diǎn)處繩子的切線(xiàn)方向與豎直方向的夾角，則$\frac{tanα}{tanβ}$的大小為（　　）

• A． $\frac{M}{M+m}$
• B． $\frac{m}{m+M}$
• C． $\frac{M}{2（M+m）}$
• D． $\frac{m}{2（M+m）}$

Answer 1

分析 以整體為研究對(duì)象，根據(jù)平衡條件分析端點(diǎn)處對(duì)繩子的拉力與總重力的關(guān)系式；對(duì)左半邊繩子研究，得到端點(diǎn)和中點(diǎn)繩子的拉力的關(guān)系式；再采用比例法求解．

解答 解：設(shè)懸點(diǎn)A、B處對(duì)繩的拉力為F₁，取繩M和m為一整體，受力分析如圖（甲）所示．

由平衡條件得：2F₁cos α=（M+m）g．
設(shè)繩在P點(diǎn)的張力大小為F₂，對(duì)P點(diǎn)受力分析如圖（乙）所示．
由平衡條件得：2F₂cos β=Mg．
再以AP段繩為研究對(duì)象，受力分析如圖（丙）所示．
由水平方向合力為零可得：
  F₁sin α=F₂sin β
由以上三式聯(lián)立可得：$\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{M}{M+m}$．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題是力平衡問(wèn)題，采用隔離法和整體法研究，如何選擇研究對(duì)象和如何運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)變形是關(guān)鍵．