2.在如圖所示的直角坐標(biāo)系中,有一長為L的輕繩一端固定在第一象限內(nèi)的O′點,且可繞O′點在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動,另一端拴有一個質(zhì)量為m的小球,小球電荷量為+q,OO′連線與y軸成45°,OO′的長度為L.在x軸上方有水平向左的勻強電場E1,在x軸下方有豎直向上的勻強電場E2,且E1=E2=$\frac{mg}{q}$,在x軸下方的虛線(虛線與y軸成45°)右側(cè)有垂直紙面向外的勻強磁場,磁感應(yīng)強度為B.先將小球放在O′的正上方,從繩恰好繃直處由靜止釋放,小球進入磁場時將繩子斷開.求:
(1)繩子第一次繃緊后小球的速度大。
(2)小球剛進入磁場區(qū)域時的速度.
(3)小球從進入磁場到第一次經(jīng)過x軸上的時間.

分析 (1)在繩沒有拉直之前,小球做的是勻加速直線運動,位移的大小為繩的長度,根據(jù)勻變速直線運動的規(guī)律可以求得運動的時間;
(2)當(dāng)繩被拉直時,小球的沿著繩方向的速度變?yōu)榱,只有垂直繩方向的速度的大小,之后再電場的作用下,小球加上運動,根據(jù)動能定理可以求得小球進入磁場是的速度的大。
(3)小球在磁場中做的是圓周運動,根據(jù)圓周運動的周期公式可以求得小球的在磁場中運動的時間,小球離開磁場后,進入電場在做勻速直線運動,由此可以求得小球的運動的總時間.

解答 解:(1)小球一開始受到的合力為$\sqrt{2}mg$,作勻加直線運動,繃緊之前速度為v1,繩子恰好處于水平狀態(tài)
根據(jù)動能定理得:$\sqrt{2}$mg•$\sqrt{2}$L=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$,
得:v1=2$\sqrt{gL}$
將v1沿水平方向和豎直方向分解,繃緊后瞬間小球沿繩的方向的速度瞬時變不零,則小球的速度瞬間變?yōu)榇怪庇诶K的方向,大小為 ${v_2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}{v_1}=\sqrt{2gL}$
(2)由題意知:小球剛進入磁場時將繩斷開,則小球之后做勻速圓周運動,設(shè)剛進入磁場時的速度為v3,據(jù)動能定理得:$\sqrt{2}mg•(1-cos\frac{π}{4})L=\frac{1}{2}mv_3^2-\frac{1}{2}mv_2^2$
解得:v3=$\sqrt{2\sqrt{2}gL}$
(3)如圖所示:小球垂直于磁場邊界進入磁場,做勻速圓周運動,設(shè)軌道半徑為r由牛頓第二定律可得:
 qv3B=m$\frac{{v}_{3}^{2}}{r}$
可得 $r=\frac{{m{v_3}}}{qB}$
經(jīng)過半圓后射出磁場,后做勻速直線運動,運動的距離 d=2r;
設(shè)經(jīng)過的時間為t,則有:$t=\frac{1}{2}×\frac{2πm}{Bq}+\frac{2r}{v_3}=\frac{(π+2)m}{qB}$
答:(1)繩子第一次繃緊后小球的速度大小是$\sqrt{2gL}$.
(2)小球剛進入磁場區(qū)域時的速度是$\sqrt{2\sqrt{2}gL}$.
(3)小球從進入磁場到第一次經(jīng)過x軸上的時間為$\frac{(π+2)m}{qB}$.

點評 電荷在勻強磁場中做勻速圓周運動,關(guān)鍵是畫出軌跡,由幾何知識求出半徑.定圓心角,求時間.

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