Question

3．如圖所示，在水平 圓盤上有一過圓心的光滑小槽，槽內(nèi)有兩根原長、勁度系數(shù)均相同的橡皮繩拉住一質(zhì)量為m的小球，一條橡皮繩拴在O點，另一條拴在O′點，其中O為圓盤的中心，O′點在圓盤的邊緣上，橡皮繩的勁度系數(shù)為k，原長為圓盤半徑R的$\frac{1}{3}$，現(xiàn)使圓盤角速度由零緩慢增大，則（　�。�

• A． ω=$\sqrt{\frac{k}{2m}}$時，OO′間橡皮繩處于原長
• B． ω=$\sqrt{\frac{k}{5m}}$時，小球距圓心距離為$\frac{5R}{9}$
• C． ω=$\sqrt{\frac{3k}{5m}}$時，小球距圓心的距離為$\frac{5}{6}$R
• D． ω=$\sqrt{\frac{3k}{5m}}$時，OO₁間橡皮繩的彈力為kR

Answer 1

分析 外側(cè)橡皮繩無拉力時，靠內(nèi)側(cè)繩的拉力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律和胡克定律求出圓盤轉(zhuǎn)動的角速度大小，當角速度小于此時角速度時，兩橡皮繩均有拉力，根據(jù)向心力公式結(jié)合胡克定律求出小球距圓心距離，當角速度大于此時角速度時，右側(cè)橡皮繩無拉力，根據(jù)向心力公式結(jié)合胡克定律求解即可．

解答 解：A、當圓盤的角速度為ω₀時，外側(cè)橡皮繩恰好無拉力，
則有：$k（\frac{2}{3}R-\frac{1}{3}R）=m\frac{2}{3}R{{ω}_{0}}^{2}$，
可得${ω}_{0}=\sqrt{\frac{k}{2m}}$，故A正確；
B、$\sqrt{\frac{k}{5m}}＜\sqrt{\frac{k}{2m}}$，則兩橡皮繩均有拉力，
設(shè)此時半徑為r₁，則有：$k（{r}_{1}-\frac{1}{3}R）-k（R-{r}_{1}-\frac{1}{3}R）=m{r}_{1}{ω}^{2}$
解得：${r}_{1}=\frac{5R}{9}$，故B正確；
C、ω=$\sqrt{\frac{3k}{5m}}$$＞\sqrt{\frac{k}{2m}}$，則右側(cè)橡皮繩無拉力，
設(shè)此時半徑為r₂，則有：
$k（{r}_{2}-\frac{1}{3}R）=m{r}_{2}{ω}^{2}$，
解得${r}_{2}=\frac{5}{6}R$，
此時OO₁間橡皮繩的彈力為F=$k（{r}_{2}-\frac{1}{3}R）=\frac{1}{2}kR$，故C正確，D錯誤．
故選：ABC

點評 解決本題的關(guān)鍵知道圓周運動向心力的來源，結(jié)合牛頓第二定律和胡克定律綜合求解，難度中等．