Question

15．如圖所示，光滑圓弧形凹槽ABC放在水平地面上，O為圓心，A、C兩點(diǎn)等高且為圓弧邊緣，B為最低點(diǎn)，張角∠AOC可隨意調(diào)節(jié)，圓弧半徑r=0.5m．現(xiàn)將OA與豎直方向的夾角θ₁調(diào)為53°，把一個(gè)質(zhì)量m=0.1kg的小球從水平桌面的邊緣P點(diǎn)以v₀=3m/s向右水平拋出，該小球恰能從A點(diǎn)沿圓弧的切線方向進(jìn)入凹槽．已知sin53°=0.8，重力加速度g=10m/s²，不計(jì)空氣阻力．
（1）求小球運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)的速度大小；
（2）求小球在B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小；
（3）改變?chǔ)?SUB>1和v₀的大小，同時(shí)把凹槽在水平地面上左右移動(dòng)，使小球仍能從A點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入凹槽．若PA與豎直方向的夾角為θ₂，試證明tanθ₁•tanθ₂=2．

Answer 1

分析 （1）小球從P到A做平拋運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度沿圓弧的切線方向，即與水平方向成θ₁角，應(yīng)用速度分解法求出小球運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)的速度．
（2）小球從A到B的過程，由機(jī)械能守恒定律求出物體在B點(diǎn)的速度，然后又牛頓定律求出小球在B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力．
（3）根據(jù)分速度的規(guī)律和平拋運(yùn)動(dòng)的分解法證明即可．

解答 解：（1）將小球經(jīng)A點(diǎn)時(shí)的速度v_A分解，有
  v_Acosθ₁=v₀
解得  v_A=$\frac{{v}_{0}}{cos{θ}_{1}}$=$\frac{3}{0.6}$=5m/s
（2）小球從A到B的過程，由機(jī)械能守恒定律有
  mgr（1-cosθ₁）=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
在B點(diǎn)，對(duì)小球，由牛頓第二定律有
   F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{r}$
代入數(shù)據(jù)解得  F_N=6.8N
由牛頓第三定律知，小球經(jīng)B點(diǎn)時(shí)對(duì)圓槽的壓力大小為6.8N．
（3）小球能從A點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入圓弧，說明其經(jīng)A點(diǎn)時(shí)的速度v_A與水平方向的夾角為θ₁．設(shè)它從P到A的時(shí)間為t，則有
   tanθ₁=$\frac{gt}{{v}_{0}}$
   tanθ₂=$\frac{{v}_{0}t}{\frac{1}{2}g{t}^{2}}$=$\frac{2{v}_{0}}{gt}$
所以有  tanθ₁•tanθ₂=2，得證
答：
（1）小球運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)的速度大小是5m/s． 
（2）小球在B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小是6.8N．
（3）略．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)情況，掌握平拋運(yùn)動(dòng)的研究方法：運(yùn)動(dòng)的分解法，明確向心力的來源：指向圓心的合力．