Question

5．如圖1，在直角坐標系X≤0的區(qū)域存在磁感強度大小為2B₀的勻強磁場，在X＞0的區(qū)域存在如圖2變化的勻強磁場，兩磁場方向均垂直紙面向內(nèi)，在t=0時刻有一質(zhì)量為m，帶電量為+q的帶電粒子以大小為v₀的初速度沿+X方向從O點進入磁場（不計粒子重力）．

（1）求帶電粒子在0～$\frac{πm}{q{B}_{0}}$時間內(nèi)運動的半徑和周期；
（2）試畫出t=0時刻到t₁=$\frac{17πm}{4q{B}_{0}}$時刻粒子的軌跡，并求出t₁時刻粒子坐標位置及速度方向；
（3）若在t₁=$\frac{17πm}{4q{B}_{0}}$時刻，撤去X＞0區(qū)域處磁場，同時在該區(qū)域加一沿+Y方向勻強電場，請通過計算判斷粒子再次進入電場前能否回到O點．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子進入磁場中由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律和圓周運動的規(guī)律可求其運動半徑和周期．
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，根據(jù)時間與周期的關(guān)系，畫出粒子的運動軌跡，由幾何關(guān)系求t₁時刻粒子坐標位置，并分析速度方向．
（3）加勻強電場后，粒子在電場中做類平拋運動，由幾何知識求出粒子再次進電場前在Y軸上的側(cè)移量，與粒子軌跡半徑比較，即可作出判斷．

解答 解：（1）帶電粒子在0～$\frac{πm}{q{B}_{0}}$時間內(nèi)，由$q{v_0}（2{B_0}）=\frac{mv_0^2}{r_1}$得 ${r_1}=\frac{{m{v_0}}}{{2q{B_0}}}$
周期${T_1}=\frac{{2π{r_1}}}{v_0}$ 得 ${T_1}=\frac{πm}{{q{B_0}}}$；
（2）當B=B₀時 ${r_2}=\frac{{m{v_0}}}{{q{B_0}}}=2{r_1}$，${T_2}=\frac{2πm}{{q{B_0}}}$=2T₁；
0～$\frac{πm}{q{B}_{0}}$的運動以r₁為半徑一個圓周，$\frac{πm}{q{B}_{0}}$～$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$的運動以r₂為半徑半個圓周，$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$～$\frac{3πm}{q{B}_{0}}$的運動以r₁為半徑一個圓周，$\frac{3πm}{q{B}_{0}}$～$\frac{7πm}{2q{B}_{0}}$的運動以r₁為半徑半個圓周，$\frac{7πm}{2q{B}_{0}}$～$\frac{4πm}{q{B}_{0}}$的運動以r₂為半徑$\frac{1}{4}$圓周，$\frac{4πm}{q{B}_{0}}$～$\frac{17πm}{4q{B}_{0}}$的運動以r₁為半徑$\frac{1}{4}$圓周，軌跡如下圖所示．

故坐標為（$\frac{m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$，$\frac{5m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$），速度方向沿-X方向．
（3）如下圖，設粒子進左側(cè)磁場時速度與+Y成θ角，則再次進電場前在Y軸上的側(cè)移量為△Y=2rsinθ
而 r=$\frac{m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$
得△Y=$\frac{mvsinθ}{q{B}_{0}}$=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$＜$\frac{5m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$
故不可能回到O點．

答：
（1）帶電粒子在0～$\frac{πm}{q{B}_{0}}$時間內(nèi)運動的半徑為$\frac{m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$，周期為$\frac{πm}{q{B}_{0}}$；
（2）畫出t=0時刻到t₁=$\frac{17πm}{4q{B}_{0}}$時刻粒子的軌跡如圖，t₁時刻粒子坐標為（$\frac{m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$，$\frac{5m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$），速度方向沿-X方向；
（3）粒子再次進入電場前不能回到O點．

點評 解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)粒子的運動情況，畫出其運動軌跡，要邊計算，邊分析，分析時要抓住圓周運動的周期性和對稱性，結(jié)合幾何知識求解．