Question

8．如圖所示，光滑的輕質(zhì)定滑輪上繞有輕質(zhì)柔軟細線，線的一端系一質(zhì)量為2m的重物，另一端系一質(zhì)量為m、電阻為R的金屬桿，在豎直平面內(nèi)有足夠長的平行金屬導(dǎo)軌PQ、EF，其間距為L，在Q、F之間連接有阻值為R的電阻，其余電阻不計，一勻強磁場與導(dǎo)軌平面垂直，磁感應(yīng)強度為B₀，開始時金屬桿置于導(dǎo)軌下端QF處，將重物由靜止釋放，當(dāng)重物下降h時恰好達到穩(wěn)定速度而后勻速下降，運動過程中金屬桿始終與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，不計一切摩擦和接觸電阻，重力加速度為g，求：
（1）重物勻速下降時的速度v；
（2）重物從釋放到下降h的過程中，電阻R中產(chǎn)生的熱量Q；
（3）設(shè)重物下降h時的時刻t=0，此時速度為v₀，若從t=0開始，磁場的磁感應(yīng)強度B逐漸減小，且金屬桿中始終不產(chǎn)生感應(yīng)電流，試寫出B隨時間t變化的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）重物勻速下降時，金屬桿勻速上升，受力平衡．推導(dǎo)出安培力，由平衡條件列式求出速度v．
（2）重物從釋放到下降h的過程中，重物的重力勢能減小轉(zhuǎn)化為桿的重力勢能和動能、重物的動能及整個回路的內(nèi)能，根據(jù)能量守恒求出整個回路產(chǎn)生的焦耳熱，根據(jù)串聯(lián)電路電流關(guān)系，求出電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱Q_R；
（3）當(dāng)回路中總磁通量不變時，金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，此時棒將導(dǎo)軌做勻加速運動．根據(jù)磁通量不變，列式求B與t的關(guān)系式．

解答 解：（1）重物勻速下降時，設(shè)細線對金屬桿的拉力為T，金屬桿所受安培力為F
由平衡條件得T=mg+F
由安培力公式得$F={B}_{0}^{\;}IL$
根據(jù)閉合電路歐姆定律，$I=\frac{E}{R+R}$
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，$E={B}_{0}^{\;}Lv$
對重物由平衡條件得T=2mg
綜合上述各式，解得：$v=\frac{2mgR}{{B}_{0}^{2}{L}_{\;}^{2}}$
（2）設(shè)電路中產(chǎn)生的總熱量為Q，由能量守恒定律得
2mgh-mgh=$\frac{1}{2}（2m）{v}_{\;}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$+Q
由串聯(lián)電路特點知，電阻R中產(chǎn)生的熱量為
${Q}_{R}^{\;}=\frac{1}{2}Q$
則${Q}_{R}^{\;}=\frac{1}{2}mgh$-$\frac{3{m}_{\;}^{3}{g}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{{B}_{0}^{4}{L}_{\;}^{4}}$
（3）金屬桿中恰好不產(chǎn)生感應(yīng)電流時，磁通量不變，則有
${Φ}_{0}^{\;}={Φ}_{t}^{\;}$
即${B}_{0}^{\;}hL=B（h+x）L$
式中$x={v}_{0}^{\;}t+\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
對系統(tǒng)，由牛頓第二定律得
$a=\frac{2mg-mg}{2m+m}=\frac{g}{3}$
則磁感應(yīng)強度B隨時間t變化的關(guān)系為
$B=\frac{{B}_{0}^{\;}h}{h+{v}_{0}^{\;}t+\frac{g}{6}{t}_{\;}^{2}}=\frac{6{B}_{0}^{\;}h}{6h+6{v}_{0}^{\;}t+g{t}_{\;}^{2}}$
答：（1）重物勻速下降時的速度v為$\frac{2mgR}{{B}_{0}^{2}{L}_{\;}^{2}}$；
（2）重物從釋放到下降h的過程中，電阻R中產(chǎn)生的熱量Q為$\frac{1}{2}mgh-\frac{3{m}_{\;}^{3}{g}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{{B}_{0}^{4}{L}_{\;}^{4}}$；
（3）設(shè)重物下降h時的時刻t=0，此時速度為v₀，若從t=0開始，磁場的磁感應(yīng)強度B逐漸減小，且金屬桿中始終不產(chǎn)生感應(yīng)電流，試寫出B隨時間t變化的關(guān)系
B=$\frac{6{B}_{0}^{\;}h}{6h+6{v}_{0}^{\;}t+g{t}_{\;}^{2}}$

點評 本題分別從力和能量兩個角度研究電磁感應(yīng)現(xiàn)象，關(guān)鍵是計算安培力和分析能量如何變化，以及把握沒有感應(yīng)電流產(chǎn)生的條件．