Question

5．如圖所示，天花板上有固定轉(zhuǎn)軸O，長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)絕緣桿，一端可繞轉(zhuǎn)軸o在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端固定一質(zhì)量為M的帶電量為q（q＞0）的小球．空間存在一豎直向下場(chǎng)強(qiáng)大小E=$\frac{Mg}{q}$的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一根不可伸長(zhǎng)的足夠長(zhǎng)絕緣輕繩繞過定滑輪A，一端與小球相連，另一端掛著質(zhì)量為m₁的鉤碼，定滑輪A的位置可以沿OA連線方向調(diào)整．小球、鉤碼均可看作質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)一切摩擦．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）
（1）若將OA間距調(diào)整為$\sqrt{3}$L，則當(dāng)輕桿與水平方向夾角為30°時(shí)小球恰能保持靜止?fàn)顟B(tài)，求小球的質(zhì)量M與鉤碼的質(zhì)量m₁之比；
（2）若在輕繩下端改掛質(zhì)量為m₂的鉤碼，且M：m₂=4：1，并將OA間距調(diào)整為$\frac{4}{3}$L，測(cè)得桿長(zhǎng)L=0.87m，仍將輕桿從水平位置由靜止開始釋放，當(dāng)輕桿轉(zhuǎn)至豎直位置時(shí)，小球突然與桿和繩脫離連接而向左水平飛出，求當(dāng)鉤碼上升到最高點(diǎn)時(shí)，且鉤碼未碰上滑輪小球還未落到地上，求此時(shí)小球與O點(diǎn)的豎直距離h．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)幾何關(guān)系找出角度關(guān)系，據(jù)平衡態(tài)列方程求解；
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解，找出小球速度與鉤碼速度之間的關(guān)系，結(jié)合功能關(guān)系，求出小球到達(dá)O點(diǎn)正下方時(shí)小球與鉤碼速度；小球脫離后，做類平拋運(yùn)動(dòng)，鉤碼豎直上拋運(yùn)動(dòng)，求出鉤碼上升到最高點(diǎn)的時(shí)間，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出小球類平拋的豎直位移，最后根據(jù)幾何關(guān)系求出小球與O點(diǎn)的豎直距離

解答 解：（1）依題意，小球處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，∠AOM=30°，由幾何關(guān)系知，此時(shí)∠OAM=30°．
分析小球受力，設(shè)輕桿對(duì)其彈力大小為F，方向沿桿向上，輕繩對(duì)其彈力大小為T，則

Fcos30°=Tcos30°
Fsin30°+Tsin30°=Mg+qE
且 qE=Mg
解得   M=$\frac{1}{2}$m₁，即     M：m₁=1：2    
（2）小球繞O點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球到達(dá)O點(diǎn)正下方P點(diǎn)時(shí)，設(shè)其速度為V₁，鉤碼速度為V₂，

設(shè)此時(shí)輕繩AP與水平方向夾角為θ，OP=L     OA=$\frac{4}{3}L$  則
由tanθ=$\frac{OP}{OA}$=0.75，得θ=37⁰
速度關(guān)系為：V₂=V₁cosθ              
對(duì)小球與鉤碼構(gòu)成的系統(tǒng)由功能關(guān)系，有
$qEL+MgL-{m}_{2}^{\;}g$$[\sqrt{{L}_{\;}^{2}+（\frac{4}{3}L）_{\;}^{2}}-（\frac{4}{3}L-L）]$=$\frac{1}{2}M{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}^{\;}{v}_{2}^{2}$
又    M：m₂=4：1    
解得       v₁=5m/s，v₂=4m/s        
鉤碼做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，上升到最高點(diǎn)的時(shí)間 $t=\frac{{v}_{2}^{\;}}{g}=\frac{4}{10}s=0.4s$
小球離開桿后做平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向的加速度為a，
則$a=\frac{Mg+qE}{M}=2g=20m/{s}_{\;}^{2}$
在豎直方向的加速位移為y，則$y=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}=1.6m$
故小球與O點(diǎn)的豎直距離為  h=y+L=1.6+0.87=2.47m          
答：（1）若將OA間距調(diào)整為$\sqrt{3}$L，則當(dāng)輕桿與水平方向夾角為30°時(shí)小球恰能保持靜止?fàn)顟B(tài)，小球的質(zhì)量M與鉤碼的質(zhì)量m₁之比1：2；
（2）當(dāng)鉤碼上升到最高點(diǎn)時(shí)，且鉤碼未碰上滑輪小球還未落到地上，此時(shí)小球與O點(diǎn)的豎直距離h2.47m．

點(diǎn)評(píng) 本題難度較大，分清楚物體的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況 是解題的關(guān)鍵；靈活應(yīng)用和運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系、功能關(guān)系和運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出速度，再求出時(shí)間，據(jù)此求出距離是解題的核心．