Question

如圖所示，ab是半徑為R的圓的一條直徑，該圓處于勻強(qiáng)電場(chǎng)中，場(chǎng)強(qiáng)大小為E，方向與圓周平面平行．在圓周平面內(nèi)將質(zhì)量為m，帶正電為q的粒子，從a點(diǎn)同時(shí)以相同的動(dòng)能在圓周平面向各個(gè)方向拋出，粒子會(huì)經(jīng)過(guò)圓周上不同的點(diǎn)．在這些點(diǎn)中，到達(dá)c點(diǎn)的粒子動(dòng)能最大，已知ac和ab間的夾角θ=30°，若不計(jì)重力和空氣阻力及粒子間的相互作用力，求：
（1）電場(chǎng)方向與ab間的夾角α為多大？
（2）若粒子在a點(diǎn)時(shí)的初速度與電場(chǎng)方向垂直，則粒子恰好能落在C點(diǎn)，則初速度為多大？
（3）若在a點(diǎn)時(shí)的初速度與電場(chǎng)方向垂直的粒子恰好落在C點(diǎn)時(shí)，是否還有其它粒子同時(shí)落到圓周上．若有，求出其它粒子在圓周上的落點(diǎn)到C點(diǎn)的距離；若沒(méi)有，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）小球在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理qU_AC=E_k，因?yàn)榈竭_(dá)C點(diǎn)時(shí)的小球的動(dòng)能最大，所以U_AC最大，即在圓周上找不到與C電勢(shì)相等的點(diǎn)．所以與C點(diǎn)電勢(shì)相等的點(diǎn)在過(guò)C點(diǎn)的切線上．再根據(jù)電場(chǎng)線與等勢(shì)線垂直，可以畫(huà)出電場(chǎng)線．
（2）小球做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)分析小球的運(yùn)動(dòng)情況，分別在水平方向和豎直方向上列式求解．
（3）通過(guò)類(lèi)比，看成類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式與牛頓第二定律，及運(yùn)動(dòng)的合成與分解，即可求解．

解答：解：（1）小球在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理qU_ac=E_k
因?yàn)榈竭_(dá)c點(diǎn)時(shí)的小球的動(dòng)能最大，所以Uac最大，即在圓周上找不到與c電勢(shì)相等的點(diǎn)．且由a到c電場(chǎng)力對(duì)小球做正功．
過(guò)c點(diǎn)作切線，則cF為等勢(shì)線．
過(guò)a點(diǎn)作cF的垂線，則該線為電場(chǎng)線，場(chǎng)強(qiáng)方向如圖示．
∵∠cab=30°
∴連接co∠aco=30°
∵co∥am
∴電場(chǎng)方向與ac間的夾角θ為30°
（2）小球只受電場(chǎng)力，做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)．
水平方向上：x=Rcos30°=v₀t
豎直方向上：y=R+Rsin30°=

qEt2

2m

由以上兩式得：E_k=

1

2

mv²=

1

8

qER
因此初速度為v=

qER 4m

（3）根據(jù)題意可知，粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)的合成與分解，在電場(chǎng)力的方向，在相同的電場(chǎng)力作用下，雖初動(dòng)能相同，但因質(zhì)量的不同，導(dǎo)致加速度的不一，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式s=

1

2

at2，可知，當(dāng)加速度大的，要確保時(shí)間相同，則位移必須大，而加速度大的，質(zhì)量偏小，則速度偏大，發(fā)生的垂直電場(chǎng)力方向的位移偏大，因此不可能同時(shí)落在同一圓周上，故沒(méi)有其它粒子同時(shí)落到圓周上．
答：（1）電場(chǎng)的方向與AC間的夾角為30°；
（2）小球在A點(diǎn)的初速度與電場(chǎng)方向垂直，小球恰能落到C點(diǎn)，則初速度為

qER 4m

；
（3）沒(méi)有同時(shí)落在圓周上的粒子．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵考查對(duì)電場(chǎng)力做功公式W=qEd的理解和應(yīng)用，d是沿電場(chǎng)方向兩點(diǎn)間的距離．此題要求熟練掌握功能關(guān)系和類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，屬于難題．