Question

5．如圖所示，質(zhì)量為M=0.6kg的長(zhǎng)滑塊靜止在光滑水平地面上，左端固定一勁度系數(shù)為k=500N/m且足夠長(zhǎng)的水平輕質(zhì)彈簧，右側(cè)用一不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩連接于豎直墻上，細(xì)繩所能承受的最大拉力為T=l0N，使一質(zhì)量為m=0.2kg、初速度為v₀的小物體，在滑塊上無摩擦地向左滑動(dòng)而后壓縮彈簧，彈簧的彈性勢(shì)能表達(dá)式為E_p=$\frac{1}{2}$kx²（x為彈簧的形變量）．求：
①給出細(xì)繩被拉斷的條件．
②若v₀=3m/s，求細(xì)繩被拉斷后，彈簧的彈性勢(shì)能最大值．

Answer 1

分析 ①假設(shè)繩子不斷，當(dāng)滑塊速度減為零時(shí)，彈性勢(shì)能最大，彈力最大，繩子的張力最大，等于彈簧的彈力，然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律和胡克定律列式求解．
②根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求出繩被拉斷瞬間小物體的速度．當(dāng)彈簧被壓縮至最短時(shí)彈性勢(shì)能有最大值，此時(shí)小物體和滑塊有相同的速度，從繩被拉斷后到彈簧壓縮至最短時(shí)，對(duì)小物體、滑塊和彈簧組成的系統(tǒng)根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律結(jié)合求解．

解答 解：①設(shè)彈簧壓縮量為時(shí)繩被拉斷：kx=T
從初始狀態(tài)到壓縮繩被拉斷的過程中，有 $\frac{1}{2}k{x}^{2}$＜$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
故細(xì)繩被拉斷的條件為 v₀＞$\frac{T}{\sqrt{km}}$=1m/s     
②設(shè)繩被拉斷瞬間，小物體的速度為v₁，由機(jī)械能守恒有
  $\frac{1}{2}$kx²+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 v₁=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-\frac{{T}^{2}}{km}}$=2$\sqrt{2}$m/s   
當(dāng)彈簧被壓縮至最短時(shí)，彈性勢(shì)能有最大值為E_pm，小物體和滑塊有相同的速度為v₂，從繩被拉斷后到彈簧壓縮至最短時(shí)，小物體、滑塊和彈簧系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒，取向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律得：
  mv₁=（M+m）v₂；
  E_pm+$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得  E_pm=0.7J     
答：
①給出細(xì)繩被拉斷的條件是v₀＞1m/s．
②若v₀=3m/s，求細(xì)繩被拉斷后，彈簧的彈性勢(shì)能最大值是0.7J．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要分析清楚滑塊和滑板的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，能結(jié)合機(jī)械能守恒定律和動(dòng)量守恒定律多次列式后聯(lián)立分析．