Question

10．設(shè)北斗導(dǎo)航系統(tǒng)中的地球同步衛(wèi)星在距地面高度為h的同步軌道做圓周運(yùn)動(dòng)．已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，萬(wàn)有引力常量為G．下列說(shuō)法正確的是（　　）

• A． 同步衛(wèi)星運(yùn)行的線速度大于7.9km/s
• B． 同步衛(wèi)星運(yùn)行的線速度為$\sqrt{g（R+h）}$
• C． 同步衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的周期為2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$
• D． 同步軌道處的重力加速度為（$\frac{R}{R+h}$）²g

Answer 1

分析 地球同步衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式；在地球表面，重力等于萬(wàn)有引力，再次列式；然后聯(lián)立求解．

解答 解：地球同步衛(wèi)星在距地面高度為h的同步軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，有：
G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=ma=m$\frac{{v}^{2}}{R+h}$=m（R+h）ω²=m（$\frac{2π}{T}$）²（R+h）
解得：
a=$\frac{GM}{（R+h）^{2}}$…①
v=$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$…②
ω=$\sqrt{\frac{GM}{（R+h）^{3}}}$…③
T=2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{GM}}$…④
在地球表面，重力等于萬(wàn)有引力，有：
mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得：GM=gR²…⑤
AB、由②⑤兩式解得同步衛(wèi)星運(yùn)行的線速度為：v=$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$，故AB錯(cuò)誤；
C、由④⑤兩式解得同步衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的周期為：T=2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{GM}}$=2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$，故C錯(cuò)誤；
D、同步軌道處的重力加速度為：a=$\frac{GM}{（R+h）^{2}}$=$\frac{g{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$，故D正確；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確兩點(diǎn)：衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力；地球表面重力等于萬(wàn)有引力．