Question

20．如圖所示，光滑水平面上靜止放置著一輛平板車A，．車上有兩個(gè)小滑塊B和C（都可視為質(zhì)點(diǎn)），B與車板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，而C與車板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為2μ．開始時(shí)B、C分別從車板的左、右兩端同時(shí)以大小相同的初速度v_o相向滑行．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，C、A的速度達(dá)到相等，此時(shí)C和B恰好發(fā)生碰撞．已知C和B發(fā)生碰撞時(shí)兩者的速度立刻互換，A、B、C三者的質(zhì)量都相等，重力加速度為g．設(shè)最大靜摩擦力大小等于滑動(dòng)摩擦力．
（1）求開始運(yùn)動(dòng)到C、A的速度達(dá)到相等時(shí)的時(shí)間；
（2）求平板車平板總長(zhǎng)度；
（3）已知滑塊C最后沒有脫離平板，求滑塊C最后與車達(dá)到相對(duì)靜止時(shí)處于平板上的位置．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)量定理分別對(duì)C、A研究，求出開始運(yùn)動(dòng)到C、A的速度達(dá)到相等時(shí)的時(shí)間．
（2）由動(dòng)量定理求出C和B發(fā)生碰撞時(shí)B的速度，用平均速度分別求出從開始到C、B碰撞的過(guò)程C、B的位移大小，兩者之和等于平板車平板總長(zhǎng)度；
（3）C和B發(fā)生碰撞時(shí)兩者交換速度．根據(jù)牛頓第二定律運(yùn)動(dòng)整體法和隔離法判斷是否相對(duì)靜止．再根據(jù)動(dòng)能定理分別研究C、A的位移，由幾何關(guān)系求出滑塊C在車板上運(yùn)動(dòng)的總位移，確定C最后與車達(dá)到相對(duì)靜止時(shí)處于平板上的位置．

解答 解：（1）設(shè)A、B、C三個(gè)物體的質(zhì)量都為m，從開始到C、A的速度達(dá)到相等的過(guò)程所用時(shí)間為t，C、A相等的速度為v_C，根據(jù)動(dòng)量定理得
 對(duì)C：-2μmgt=mv_C-mv₀
 對(duì)A：（2μmg-μmg）t=mv_C
聯(lián)立解得，t=$\frac{{v}_{0}}{3μg}$，v_C=$\frac{1}{3}$v₀，
（2）對(duì)B，由動(dòng)量定理得，
-μmgt=mv_B-mv₀，解得：v_B=$\frac{2}{3}$v₀，
對(duì)C：x_C=$\frac{{v}_{0}+{v}_{C}}{2}$t，
對(duì)B：x_B=$\frac{{v}_{0}+{v}_{B}}{2}$t，
平板車平板總長(zhǎng)度L=x_B+x_C
解得：L=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$；
（3）對(duì)A：x_A=$\frac{{v}_{A}}{2}$t=$\frac{{v}_{0}^{2}}{18μg}$，A、B、C三者的位移和末速度分別為：
x_A=$\frac{{v}_{0}^{2}}{18μg}$，方向向左；x_B=$\frac{5{v}_{0}^{2}}{18μg}$，方向向右；x_C=$\frac{2{v}_{0}^{2}}{9μg}$，方向向左．
v_A=v_C=$\frac{1}{3}$v₀，方向向左；v_B=$\frac{2}{3}$v₀，方向向右．C和B發(fā)生碰撞時(shí)兩者的速度立刻互換，
則碰撞后C和B的速度各為：v_C′=$\frac{2}{3}$v₀，方向向右，v_B′=$\frac{1}{3}$v₀，方向向左．
碰撞后B和A的速度相等，設(shè)B和A保持相對(duì)靜止一起運(yùn)動(dòng)，此時(shí)對(duì)B和A整體有f_C=2μmg=2ma
對(duì)B：B受到的摩擦力為f_B′=ma=μmg，說(shuō)明B和A保持相對(duì)靜止一起運(yùn)動(dòng)．
設(shè)C最后停在車板上時(shí)，共同速度為v，以C的初速度放為正方向，
由動(dòng)量守恒定律得：mv_C′-2mv_B′=2mv，解得：v=0，
對(duì)這一過(guò)程，對(duì)C，由動(dòng)能定理得：-2μmgS_C′=0-$\frac{1}{2}$mv_C′²，
對(duì)B和A整體，由動(dòng)能定理得
-2μmgS_A′=0-$\frac{1}{2}$•2mv_B′²
解得，C和A的位移分別是
  S_C′=$\frac{2{v}_{0}^{2}}{9μg}$，向右，S_A′=$\frac{{v}_{0}^{2}}{18μg}$，向左．
則C先相對(duì)于車板向左移動(dòng)x₁=x_C-x_A=$\frac{{v}_{0}^{2}}{6μg}$，后相對(duì)于車板向右移動(dòng)S=S_C′-S_A′=$\frac{{v}_{0}^{2}}{6μg}$，恰好回到原來(lái)的位置，即滑塊C最后停在車板的右端．
答：（1）開始運(yùn)動(dòng)到C、A的速度達(dá)到相等時(shí)的時(shí)間為$\frac{{v}_{0}}{3μg}$；
（2）平板車平板總長(zhǎng)度L=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$；
（3）滑塊C最后停在車板的右端．

點(diǎn)評(píng) 本題是動(dòng)量定理、動(dòng)能定理、動(dòng)量守恒定律、牛頓第二定律等力學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用，要會(huì)選擇解題規(guī)律：涉及力在時(shí)間的累積效果可選用動(dòng)量定理研究．涉及力在空間的累積效果可選用動(dòng)能定理研究．