Question

15．如圖所示，一個半徑為r的半圓形線圈，以直徑ab為軸勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速為n，ab的左側(cè)有垂直于紙面向里（與ab垂直）的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B．M和N是兩個集流環(huán)，負載電阻為R，線圈、電流表和連接導線的電阻不計，求：
（1）從圖示位置起轉(zhuǎn)過$\frac{1}{4}$轉(zhuǎn)的時間內(nèi)負載電阻R上產(chǎn)生的熱量；
（2）從圖示位置起轉(zhuǎn)過$\frac{1}{4}$轉(zhuǎn)的時間內(nèi)通過負載電阻R的電荷量；
（3）電流表的示數(shù)．

Answer 1

分析 線圈產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢，由E_m=NBSω可求得最大值；再由E=$\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}$，求出有效值，從而得出電流的有效值；
根據(jù)焦耳定律，結(jié)合電流的有效值，即可求解；
根據(jù)推論：q=N$\frac{△Φ}{R}$可求出電量．

解答 解：（1）轉(zhuǎn)速為n，則ω=2πn；s=$\frac{1}{2}$πr²
最大感應(yīng)電動勢E_m=BSω；，則因只有一半?yún)^(qū)域內(nèi)有磁場，由有效值的計算公式可得：
$\frac{{E}^{2}}{R}T$=（$\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}$）²×$\frac{1}{R}$×$\frac{T}{2}$
則有效值E=$\frac{{E}_{m}}{2}$=$\frac{B{π}^{2}{r}^{2}n}{2}$；則電路中電流I=$\frac{E}{R}$=$\frac{{π}^{2}Bn{r}^{2}}{2R}$；
從圖示位置起轉(zhuǎn)過$\frac{1}{4}$圈的時間內(nèi)負載電阻R上產(chǎn)生的熱量為Q=I²Rt=（$\frac{{π}^{2}Bn{r}^{2}}{2R}$）²R×$\frac{1}{4n}$=$\frac{{π}^{4}{B}^{2}{r}^{4}n}{16R}$；
（2）轉(zhuǎn)$\frac{1}{4}$圈時磁通量的變化量為Φ=BS=B$\frac{π{r}^{2}}{2}$；
所用的時間t=$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4n}$；
則平均電動勢$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$=2nπBr²；
電量Q=$\overline{It}$=$\frac{2nπB{r}^{2}}{R}×\frac{1}{4n}$=$\frac{Bπ{r}^{2}}{2R}$；
（3）由1的解答可知，電流表示數(shù)為I=$\frac{{π}^{2}Bn{r}^{2}}{2R}$
答：（1）從圖示位置起轉(zhuǎn)過$\frac{1}{4}$轉(zhuǎn)的時間內(nèi)負載電阻R上產(chǎn)生的熱量為$\frac{{π}^{4}{B}^{2}{r}^{4}n}{8R}$
（2）從圖示位置起轉(zhuǎn)過$\frac{1}{4}$轉(zhuǎn)的時間內(nèi)通過負載電阻R的電荷量為$\frac{Bπ{r}^{2}}{2R}$
（3）電流表的示數(shù)為$\frac{{π}^{2}Bn{r}^{2}}{2R}$

點評 本題考查交流電的計算；要注意求電量時用平均電動勢；求熱量時要用電流的有效值； 同時本題只有一半在磁場中，故應(yīng)注意利用有效值的計算方法求出其有效值．