Question

16．如圖所示，質(zhì)量均為m的兩個(gè)小球固定在一根不計(jì)質(zhì)量的直角尺的兩端A、B，直角尺的頂點(diǎn)O處有光滑的固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸，AO、BO的長(zhǎng)分別為$\sqrt{3}$L和L，開始時(shí)直角尺的AO部分處于水平位置而B在O的正下方，讓該系統(tǒng)由靜止開始自由轉(zhuǎn)動(dòng)，求：
（1）當(dāng)A到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，B小球的速度大小v；
（2）A球到最低點(diǎn)時(shí)，桿OA對(duì)A球所做的功；
（3）開始轉(zhuǎn)動(dòng)后B球可能達(dá)到的最大速度v_m的大小．

Answer 1

分析 （1）AB兩個(gè)球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒列式可以求得AB速度之間的關(guān)系，同時(shí)由于AB是同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的，它們的角速度的大小相同．聯(lián)立即可求解v．
（2）對(duì)A球，運(yùn)用動(dòng)能定理求桿OA對(duì)A球所做的功．
（3）設(shè)OA桿從開始轉(zhuǎn)過α角時(shí)，B球的速度達(dá)到最大．根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒和AB速度關(guān)系，得到B的速度與θ的關(guān)系式，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解B速度的最大值．

解答 解：（1）以直角尺和兩小球組成的系統(tǒng)為對(duì)象，由機(jī)械能守恒得：
  mg•$\sqrt{3}$L=mgL+$\frac{1}{2}$mv²+$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
A、B轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度始終相同，由v=ωr，有v_A=$\sqrt{3}$v
聯(lián)立解得：v=$\sqrt{\frac{（\sqrt{3}-1）gL}{2}}$
（2）對(duì)A球，由動(dòng)能定理得：mg•$\sqrt{3}$L+W=$\frac{1}{2}$mv²-0．
解得，桿OA對(duì)A球所做的功為：W=$-\frac{（5\sqrt{3}+1）mgL}{4}$
（3）B球速度達(dá)到最大v_m時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能最大．設(shè)OA桿從開始轉(zhuǎn)過α角時(shí)，B球的速度達(dá)到最大．根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律得：
  mg•$\sqrt{3}$Lcosα-mg•L（1-sinα）=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
又v_A=$\sqrt{3}$v_B，
則得：${v}_{B}^{2}$=[$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα+$\frac{1}{2}$sinα-$\frac{1}{2}$]gL=[sin（60°+α）-$\frac{1}{2}$]gL
根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)得：α=30°時(shí)，${v}_{B}^{2}$有最大值 $\frac{1}{2}$gL，則得B球速度的最大值為：v_m=$\frac{\sqrt{2gL}}{2}$
答：（1）當(dāng)A到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，A小球的速度大小v是$\sqrt{\frac{（\sqrt{3}-1）gL}{2}}$；
（2）桿OA對(duì)A球所做的功為$-\frac{（5\sqrt{3}+1）mgL}{4}$；
（3）開始轉(zhuǎn)動(dòng)后B球可能達(dá)到的最大速度v_m是$\frac{\sqrt{2gL}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題中的AB的位置關(guān)系并不是在一條直線上，所以在球AB的勢(shì)能的變化時(shí)要注意它們之間的關(guān)系，在解題的過程中還要用到數(shù)學(xué)的三角函數(shù)的知識(shí)，要培養(yǎng)自已運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問題的能力．