Question

（2010?湘潭一模）我國在2010年實現(xiàn)探月計劃--“嫦娥工程”．同學們也對月球有了更多的關注．
（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運動的周期為T，月球繞地球的運動近似看做勻速圓周運動，試求出月球繞地球運動的軌道半徑；
（2）若宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度v₀豎直向上拋出一個小球，經(jīng)過時間t，小球落回拋出點．已知月球半徑為r，萬有引力常量為G，試求出月球的質(zhì)量M_月．

Answer 1

分析：（1）月球繞地球的運動時，由地球的萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律列出月球的軌道半徑與地球質(zhì)量等物理量的關系式；物體在地球表面上時，由重力等于地球的萬有引力求出地球的質(zhì)量，再求出月球的軌道半徑．
（2）小球在月球表面做豎直上拋運動，由t=

2v0

g月

求出月球表面的重力加速度，根據(jù)g_月=

GM月

r2

求出月球的質(zhì)量M_月．

解答：解：
（1）根據(jù)萬有引力定律和向心力公式：
   G

M月M

r2

=M月(

2π

T

)2r（1）
   mg=G

Mm

R2

（2）
解（1）（2）得：r=

3	gR2T2 4π2

（2）設月球表面處的重力加速度為g_月，根據(jù)題意：
得到  t=

2v0

g月

         （3）
又g_月=

GM月

r2

          （4）
解（3）（4）得：M_月=

2v0r2

Gt

      
答：（1）月球繞地球運動的軌道半徑是

3	gR2T2 4π2

；
    （2）月球的質(zhì)量M_月=

2v0r2

Gt

．

點評：本題是衛(wèi)星類型的問題，常常建立這樣的模型：環(huán)繞天體繞中心天體做勻速圓周運動，由中心天體的萬有引力提供向心力．