Question

17．人類對自然的探索遠至遙遠的太空，深至地球內(nèi)部．若地球半徑為R，把地球看做質(zhì)量分布均勻的球體．某地下探測器P的質(zhì)量為m，深入地面以下h處，假設h以上的地球球殼物質(zhì)對探測器P的引力為零；另一太空探測器Q質(zhì)量也為m，圍繞地球做圓周運動，軌道距離地面高度為d，則地球?qū)μ�空探測器Q和地下探測器P的引力之比為（　　）

• A． $\frac{R-h}{R+d}$
• B． $\frac{R^3}{{{{（R+d）}^2}（R-h）}}$
• C． $\frac{{{{（R-h）}^2}}}{{{{（R+d）}^2}}}$
• D． $\frac{R^2}{（R+d）（R-h）}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意知，地球表面的重力加速度等于半徑為R的球體在表面產(chǎn)生的加速度，地下深度為h的井底的加速度相當于半徑為R-h的球體在其表面產(chǎn)生的加速度，根據(jù)地球質(zhì)量分布均勻得到加速度的表達式，再根據(jù)半徑關(guān)系求解即可．

解答 解：令地球的密度為ρ，地球的質(zhì)量為：M=$ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}$，所以地球?qū)μ�空探測器Q受到的引力：
F=$\frac{GMm}{（R+d）^{2}}$=$\frac{\frac{4}{3}πρ{R}^{3}Gm}{（R+d）^{2}}$
根據(jù)題意有，質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，固在地下為h處，受到地球的萬有引力即為半徑等于（R-h）的球體在其表面產(chǎn)生的萬有引力，
此時：$M′=ρ•\frac{4}{3}π（R-h）^{3}$
故地下的重力：mg′=$\frac{4}{3}πρG（R-h）$
所以有：$\frac{F}{mg′}$=$\frac{R^3}{{{{（R+d）}^2}（R-h）}}$．故B正確，ACD錯誤
故選：B

點評 抓住在地球表面重力和萬有引力相等，在地下h處，地球的重力和萬有引力相等，要注意在地下時的地球的質(zhì)量不是整個地球的質(zhì)量而是半徑為（R-d）的球體的質(zhì)量．