Question

3．如圖為某生產(chǎn)流水線工作原理示意圖．足夠長的工作平臺(tái)上有一小孔A，一定長度的操作板（厚度可忽略不計(jì)）靜止于小孔的左側(cè)，某時(shí)刻開始，零件（可視為質(zhì)點(diǎn)）被無初速度地放上操作板中點(diǎn)，同時(shí)操作板在電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)下向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)直至運(yùn)動(dòng)到A孔的右側(cè)（忽略小孔對(duì)操作板運(yùn)動(dòng)的影響），最終零件運(yùn)動(dòng)到A孔時(shí)速度恰好為零，并由A孔下落進(jìn)入下一道工序．已知零件與操作板間的動(dòng)摩擦因素μ₁=0.05，與工作臺(tái)間的動(dòng)摩擦因素μ₂=0.025，操作板與工作臺(tái)間的動(dòng)摩擦因素μ₃=0.3．試問：
（1）電動(dòng)機(jī)對(duì)操作板所施加的力是恒力還是變力（只要回答是“變力”或“恒力”即可）？
（2）操作板做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度a的大小為多少？
（3）若操作板長L=2m，質(zhì)量M=3kg，零件的質(zhì)量m=0.5kg，重力加速度取g=10m/s²，則操作板從A孔左側(cè)完全運(yùn)動(dòng)到右側(cè)過程中，電動(dòng)機(jī)至少做了多少功？

Answer 1

分析 （1）零件離開操作板后，操作板對(duì)工作臺(tái)的壓力減小，故滑動(dòng)摩擦力減小，故電動(dòng)機(jī)對(duì)操作板所施加的力是變力；
（2）對(duì)零件在板上和工作臺(tái)上分別運(yùn)用牛頓第二定律列式求解加速度，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式后聯(lián)立求解；
（3）電動(dòng)機(jī)做功等于消耗的電能，轉(zhuǎn)化為零件動(dòng)能、工作臺(tái)動(dòng)能，各個(gè)不為摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律和功能關(guān)系列式求解．

解答 解：（1）變力；
（2）設(shè)零件相對(duì)于工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)距離為x，歷時(shí)為t時(shí)與操作板分離，此后零件在工作臺(tái)上做勻減速運(yùn)動(dòng)直到A點(diǎn)時(shí)速度減為零．
設(shè)零件的質(zhì)量為m，板長為L，取水平向右為正方向，則有：
μ₁mg=ma₁          ①
-μ₂mg=ma₂        ②
$x=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$            ③
從開始運(yùn)動(dòng)到零件與板分離，板的位移大小比零件多$\frac{L}{2}$，則有
$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{L}{2}+x$         ④
零件從開始運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，總位移大小為$\frac{L}{2}$，則有
x+$\frac{0-（{a}_{1}t）^{2}}{2{a}_{2}}$=$\frac{L}{2}$       ⑤
聯(lián)立以上各式可得：
a=$\frac{（2{μ}_{1}{μ}_{2}+{μ}_{1}^{2}）g}{{μ}_{2}}$     ⑥
代入數(shù)據(jù)得：
a=2m/s²         
（3）將a=2m/s² 及L=2m代入上述方程可得：
x=$\frac{1}{3}$m，t=$\frac{2}{\sqrt{3}}$s
由能量守恒可知電動(dòng)機(jī)做功至少包含以下幾部分：
①操作板動(dòng)能的增加
$△{E}_{k1}=\frac{1}{2}M（\sqrt{2aL}）^{2}$-0=12J                
②零件在運(yùn)動(dòng)t時(shí)間內(nèi)動(dòng)能的增加
$△{E}_{k2}=\frac{1}{2}m（{μ}_{1}gt）^{2}-0=\frac{1}{12}J$              
③零件在運(yùn)動(dòng)t時(shí)間內(nèi)與操作板摩擦而產(chǎn)生的內(nèi)能
${E}_{3}={μ}_{1}mg•\frac{L}{2}=0.25J$                          
④操作板在運(yùn)動(dòng)t時(shí)間內(nèi)與工作臺(tái)摩擦而產(chǎn)生的內(nèi)能
${E}_{4}={μ}_{3}（m+M）g（\frac{L}{2}+x）=14J$                   
⑤操作板從與零件分離到運(yùn)動(dòng)至工作臺(tái)右側(cè)過程中與工作臺(tái)摩擦而產(chǎn)生的內(nèi)能
${E}_{5}={μ}_{3}Mg（\frac{L}{2}-x）=6J$                         
所以電動(dòng)機(jī)做功至少為
E=△E_k1+△E_k2+E₃+E₄+E₅=32.33J         
答：（1）電動(dòng)機(jī)對(duì)操作板所施加的力是變力；
（2）操作板做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度a的大小為2m/s²；
（3）操作板從A孔左側(cè)完全運(yùn)動(dòng)到右側(cè)過程中，電動(dòng)機(jī)至少做32.33J的功．

點(diǎn)評(píng) 該題中，對(duì)零件的運(yùn)動(dòng)過程的分析是解題的關(guān)鍵．要緊扣題目給出的條件：最終零件運(yùn)動(dòng)到A孔時(shí)速度恰好為零！得出零件的正確的運(yùn)動(dòng)過程．