Question

3．如圖為某生產(chǎn)流水線工作原理示意圖．足夠長的工作平臺上有一小孔A，一定長度的操作板（厚度可忽略不計）靜止于小孔的左側，某時刻開始，零件（可視為質點）被無初速度地放上操作板中點，同時操作板在電動機帶動下向右做勻加速直線運動直至運動到A孔的右側（忽略小孔對操作板運動的影響），最終零件運動到A孔時速度恰好為零，并由A孔下落進入下一道工序．已知零件與操作板間的動摩擦因素μ₁=0.05，與工作臺間的動摩擦因素μ₂=0.025，操作板與工作臺間的動摩擦因素μ₃=0.3．試問：
（1）電動機對操作板所施加的力是恒力還是變力（只要回答是“變力”或“恒力”即可）？
（2）操作板做勻加速直線運動的加速度a的大小為多少？
（3）若操作板長L=2m，質量M=3kg，零件的質量m=0.5kg，重力加速度取g=10m/s²，則操作板從A孔左側完全運動到右側過程中，電動機至少做了多少功？

Answer 1

分析 （1）零件離開操作板后，操作板對工作臺的壓力減小，故滑動摩擦力減小，故電動機對操作板所施加的力是變力；
（2）對零件在板上和工作臺上分別運用牛頓第二定律列式求解加速度，然后根據(jù)運動學公式列式后聯(lián)立求解；
（3）電動機做功等于消耗的電能，轉化為零件動能、工作臺動能，各個不為摩擦產(chǎn)生的內能，根據(jù)能量守恒定律和功能關系列式求解．

解答 解：（1）變力；
（2）設零件相對于工作臺運動距離為x，歷時為t時與操作板分離，此后零件在工作臺上做勻減速運動直到A點時速度減為零．
設零件的質量為m，板長為L，取水平向右為正方向，則有：
μ₁mg=ma₁          ①
-μ₂mg=ma₂        ②
$x=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$            ③
從開始運動到零件與板分離，板的位移大小比零件多$\frac{L}{2}$，則有
$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{L}{2}+x$         ④
零件從開始運動到運動到A點，總位移大小為$\frac{L}{2}$，則有
x+$\frac{0-（{a}_{1}t）^{2}}{2{a}_{2}}$=$\frac{L}{2}$       ⑤
聯(lián)立以上各式可得：
a=$\frac{（2{μ}_{1}{μ}_{2}+{μ}_{1}^{2}）g}{{μ}_{2}}$     ⑥
代入數(shù)據(jù)得：
a=2m/s²         
（3）將a=2m/s² 及L=2m代入上述方程可得：
x=$\frac{1}{3}$m，t=$\frac{2}{\sqrt{3}}$s
由能量守恒可知電動機做功至少包含以下幾部分：
①操作板動能的增加
$△{E}_{k1}=\frac{1}{2}M（\sqrt{2aL}）^{2}$-0=12J                
②零件在運動t時間內動能的增加
$△{E}_{k2}=\frac{1}{2}m（{μ}_{1}gt）^{2}-0=\frac{1}{12}J$              
③零件在運動t時間內與操作板摩擦而產(chǎn)生的內能
${E}_{3}={μ}_{1}mg•\frac{L}{2}=0.25J$                          
④操作板在運動t時間內與工作臺摩擦而產(chǎn)生的內能
${E}_{4}={μ}_{3}（m+M）g（\frac{L}{2}+x）=14J$                   
⑤操作板從與零件分離到運動至工作臺右側過程中與工作臺摩擦而產(chǎn)生的內能
${E}_{5}={μ}_{3}Mg（\frac{L}{2}-x）=6J$                         
所以電動機做功至少為
E=△E_k1+△E_k2+E₃+E₄+E₅=32.33J         
答：（1）電動機對操作板所施加的力是變力；
（2）操作板做勻加速直線運動的加速度a的大小為2m/s²；
（3）操作板從A孔左側完全運動到右側過程中，電動機至少做32.33J的功．

點評 該題中，對零件的運動過程的分析是解題的關鍵．要緊扣題目給出的條件：最終零件運動到A孔時速度恰好為零！得出零件的正確的運動過程．