Question

10．如圖甲所示，是建筑工地將樁料打入泥土中以加固地基的打夯機示意圖．打夯前先將樁料扶正立于地基之上．已知夯錘的質(zhì)量為M=450kg，樁料的質(zhì)量為m=50kg．每次打夯都通過卷揚機牽引將夯錘提升到距離樁頂h₀=5m處再釋放，讓夯錘自由下落，夯錘砸在樁料上并不彈起，而是隨樁料一起向下運動．[兩者碰撞時間極短，碰撞前后速度關系滿足Mv₀=（M+m）v]．樁料進入泥土后所受阻力，隨打入深度h的變化關系如圖乙所示，直線斜率k=5.05×10⁴N/m．每次電動機需用20s的時間提升夯錘．提升夯錘時忽略加速和減速的過程，不計夯錘提升時的動能．g=10m/s²，求
（1）若卷揚機的工作效率為η=80%，則在每次提升夯錘的過程中，卷揚機的輸入功率．（結(jié)果保留2位有效數(shù)字）
（2）打完第一夯后，樁料進入泥土的深度．（假設打第一夯前，樁料未進入泥土）

Answer 1

分析 （1）由能量守恒定律來算出電動機的輸入功率；
（2）先由運動學公式求出夯打擊前的速度．打擊過程遵守動量守恒，由動量守恒定律求出打擊后樁料的速度，再用平均力做功算出進入泥土的深度．

解答 解：（1）提升夯錘的過程中需克服重力做功 W=Mgh₀；
卷揚機的輸入功率 P=$\frac{W}{ηt}$
代入數(shù)據(jù)，解得 P=1.4×10³W
（2）夯打擊前的速度為
  v=$\sqrt{2g{h}_{0}}$=$\sqrt{2×10×5}$=10m/s
取向下為正方向，打擊過程遵守動量守恒，則得
  Mv₀=（M+m）v
得 v=9m/s
樁料下沖過程的阻力是隨距離均勻變化的，可用平均力求做功，由動能定理得
  （M+m）gh-$\frac{1}{2}$kh•h=0-$\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得樁料進入泥土的深度 h=1m
答：
（1）在每次提升夯錘的過程中，卷揚機的輸入功率是1.4×10³W．
（2）打完第一夯后，樁料進入泥土的深度是1m．

點評 本題主要考查動能定理和能量守恒的使用，難點在于當力隨距離均勻變化時，可用平均力求功，也可用圖象法，力與距離所夾面積表示功．