Question

甲、乙兩船在靜水中航行，速度分別為v_甲和v_乙，兩船從同一渡口向河岸劃去，已知甲船以最短時間過河，乙船以最短航程過河，結果兩船抵達對岸的地點恰好相同，則甲、乙兩船渡河所用時間之比t_甲∶t_乙為多少？

Answer 1

解析: 船參與了自身劃行和隨水漂流兩個分運動.對于渡河時間最短問題上面已討論過，即船頭指向正對岸，渡河時間最短，依題設，這一時間為t_甲.

    乙船以最短航程過河，其船頭應偏向上游，且與河岸成α角.由于兩船在河岸同一點靠岸，說明兩船在河水中的合速度(設為v_合甲，v_合乙)的方向相同，并且在乙船的船速v_乙＜v_水的條件下，要想船的航程最短，合速度應與船速垂直，見右圖.于是有

    v_乙/v_水=cosα                         ①

    兩船在同一地點靠岸，位移的水平分量相等，有

    v_水t_甲=(v_水-v_乙cosα)t_乙                ②

    由幾何關系有

    cosα=v_乙/v_水=v_甲/           ③

    解①②式得

    t_甲/t_乙=(v_水²-v_乙²)/v_水²                ④

    ③式平方后，整理得

    v_乙²/v_甲²=(v_水²-v_乙²)/v_水²⑤

    比較④⑤兩式得  t_甲/t_乙=v_乙²/v_甲²