Question

（2011?虹口區(qū)二模）如圖（a）所示，間距為l、電阻不計(jì)的光滑導(dǎo)軌固定在傾角為θ的斜面上．在區(qū)域I內(nèi)有方向垂直于斜面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度恒為B不變；在區(qū)域Ⅱ內(nèi)有垂直于斜面向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度B_t的大小隨時(shí)間t變化的規(guī)律如圖（b）所示．t=0時(shí)刻在軌道上端的金屬細(xì)棒ab從如圖位置由靜止開始沿導(dǎo)軌下滑，同時(shí)下端的另一金屬細(xì)棒cd在位于區(qū)域I內(nèi)的導(dǎo)軌上也由靜止釋放．在ab棒運(yùn)動(dòng)到區(qū)域Ⅱ的下邊界EF之前，cd棒始終靜止不動(dòng)，兩棒均與導(dǎo)軌接觸良好．
已知cd棒的質(zhì)量為m、電阻為R，ab棒的質(zhì)量、阻值均未知，區(qū)域Ⅱ沿斜面的長(zhǎng)度為l，在t=t_x時(shí)刻（t_x未知）ab棒恰好進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ，重力加速度為g．求：
（1）區(qū)域I內(nèi)磁場(chǎng)的方向；
（2）通過(guò)cd棒中的電流大小和方向；
（3）ab棒開始下滑的位置離區(qū)域Ⅱ上邊界的距離；
（4）ab棒開始下滑至EF的過(guò)程中，回路中產(chǎn)生總的熱量．（結(jié)果用B、l、θ、m、R、g表示）

Answer 1

分析：（1）II內(nèi)磁場(chǎng)均勻變化因此在回路中形成感應(yīng)電流，根據(jù)楞次定律判斷出流過(guò)cd的電流方向，然后根據(jù)平衡求出cd棒所受安培力方向，進(jìn)一步根據(jù)左手定則判斷磁場(chǎng)方向．
（2）根據(jù)導(dǎo)體棒處于平衡狀態(tài)可知，安培力等于重力沿導(dǎo)軌向下分力，由此可求出通過(guò)cd棒中的電流大小和方向．
（3）棒ab進(jìn)入II區(qū)域前后回路中的電動(dòng)勢(shì)不變，即磁場(chǎng)變化產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)與導(dǎo)體切割磁感線產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)相等，據(jù)此求出導(dǎo)體棒進(jìn)入II時(shí)速度大小，然后根據(jù)導(dǎo)體棒勻加速下滑的特點(diǎn)即可求出結(jié)果．
（4）回路中電流恒定，根據(jù)Q=EIt可求出結(jié)果．

解答：解：（1）由楞次定律可知，流過(guò)cd的電流方向?yàn)閺膁到c，cd所受安培力沿導(dǎo)軌向上，故由左手定則可知，I內(nèi)磁場(chǎng)垂直于斜面向上．
故區(qū)域I內(nèi)磁場(chǎng)的方向垂直于斜面向上．
（2）cd棒平衡，所以有：BIl=mgsinθ
故解得：I=

mgsinθ

Bl

，電流方向d→c．
故通過(guò)cd棒中的電流大小I=

mgsinθ

Bl

，電流方向d→c．
（3）前、后回路感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)不變，

△Φ

△t

=Blv_x，即有：

(2B-B)

tx

l2=Blv_x，
解得：l=v_xt_x                                                        
ab棒進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ之前不受磁場(chǎng)力的作用，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，
S₁=

1

2

（0+v）t_x=0.5l          
故ab棒開始下滑的位置離區(qū)域Ⅱ上邊界的距離為0.5l．                                   
（4）ab棒進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ后作勻速直線運(yùn)動(dòng)，t₂=t_x，總時(shí)間：
t_總=t_x+t₂=2t_x
電動(dòng)勢(shì)：E=Blv_x不變
總熱量：Q=EIt_總=2mgv_xt_xsinθ=2mglsinθ
故回路中產(chǎn)生總的熱量為：Q=2mglsinθ．

點(diǎn)評(píng)：解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清電路結(jié)構(gòu)，正確分析電路中的電流以及安培力的變化情況．