Question

（2011?泗陽縣一模）在水平長直的軌道上，有一長度為L的平板車在外力控制下始終保持速度v₀做勻速直線運(yùn)動．某時(shí)刻將一質(zhì)量為m的小滑塊輕放到車面的中點(diǎn)，滑塊與車面間的動摩擦因數(shù)為μ．
（1）證明：若滑塊最終停在小車上，滑塊和車摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能與動摩擦因數(shù)μ無關(guān)，是一個(gè)定值．
（2）已知滑塊與車面間動摩擦因數(shù)μ=0.2，滑塊質(zhì)量m=1kg，車長L=2m，車速v₀=4m/s，取g=10m/s²，當(dāng)滑塊放到車面中點(diǎn)的同時(shí)對該滑塊施加一個(gè)與車運(yùn)動方向相同的恒力F，要保證滑塊不能從車的左端掉下，恒力F大小應(yīng)該滿足什么條件？
（3）在（2）的情況下，力F取最小值，要保證滑塊不從車上掉下，力F的作用時(shí)間應(yīng)該在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

分析：（1）滑塊和車摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能等于滑塊和車之間摩擦力做的功，該功等于滑動摩擦力×滑塊相對于小車的位移；
（2）滑塊不從左端掉下來，即滑塊相對于車的位移不能大于

車長

2

，列式可得；
（3）力F取最小值時(shí)，滑塊剛好不會在最左端滑下，此時(shí)滑塊與車速度相同，可求得力F作用的最短時(shí)間tmin=

v0

a

；如果此時(shí)力繼續(xù)作用，滑塊將在F作用下以v₀向右加速運(yùn)動，為不從最右端滑出，滑塊須加速運(yùn)動一段時(shí)間t后力F停止作用，在阻力作用下再做減速運(yùn)動，當(dāng)滑到達(dá)最右端時(shí)與車同速，此時(shí)力F作用的時(shí)間最大，最大時(shí)間為：t_max=t_min+t．

解答：解：（1）根據(jù)牛頓第二定律，滑塊相對車滑動時(shí)的加速度a=

μmg

m

=μg
滑塊相對車滑動的時(shí)間 t=

v0

a

滑塊相對車滑動的距離  s=v0t-

v 2 0

2a

 
滑塊與車摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能  Q=μmgs
由上述各式解得  Q=

1

2

m

v

2 0

（與動摩擦因數(shù)μ無關(guān)的定值）
（2）設(shè)恒力F取最小值為F₁，滑塊加速度為a₁，此時(shí)滑塊恰好到達(dá)車的左端，則
滑塊運(yùn)動到車左端的時(shí)間  t1=

v0

a1

①
由幾何關(guān)系有  v0t1-

v0

2

t1=

L

2

②
由牛頓定律有  F₁+μmg=ma₁③
由①②③式代入數(shù)據(jù)解得  t₁=0.5s，F(xiàn)₁=6N
則恒力F大小應(yīng)該滿足條件是  F≥6N
（3）力F取最小值，當(dāng)滑塊運(yùn)動到車左端后，為使滑塊恰不從右端滑出，相對車先做勻加速運(yùn)動（設(shè)運(yùn)動加速度為a₂，時(shí)間為t₂），再做勻減速運(yùn)動（設(shè)運(yùn)動加速度大小為a₃）．到達(dá)車右端時(shí)，與車達(dá)共同速度．則有F₁-μmg=ma₂④
μmg=ma₃⑤

1

2

a2

t

2 2

+

a 2 2 t 2 2

2a3

=L⑥
由④⑤⑥式代入數(shù)據(jù)解得t2=

3

3

s=0.58s
則力F的作用時(shí)間t應(yīng)滿足  t₁≤t≤t₁+t₂，即0.5s≤t≤1.08s

點(diǎn)評：對物體運(yùn)動的正確判斷，物體從端不滑下的前提是車的位移-物體的位移小于

車身長度

2

，物體不從右端滑出，物體在力F作用下加速運(yùn)動，當(dāng)撤去F后，物體在滑動摩擦力作用下做減速直線運(yùn)動，當(dāng)速度與車相同時(shí)，注意車和物體的位移關(guān)系．