Question

18．如圖所示，在xOy平面的第Ⅱ象限的某一區(qū)域有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁，該磁場(chǎng)區(qū)域的邊界為半圓形．有一質(zhì)量m=10^-12kg、帶正電q=10^-7C的a粒子從O點(diǎn)以速度v₀=10⁵m/s，沿與y軸正方向成θ=30°射入第Ⅱ象限，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，從y軸上的P點(diǎn)垂直于y軸射出磁場(chǎng)，進(jìn)入第Ⅰ象限，P點(diǎn)縱坐標(biāo)為y_P=3m，y軸右側(cè)和垂直于x軸的虛線左側(cè)間有平行于y軸指向y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，a粒子將從虛線與x軸交點(diǎn)Q進(jìn)入第Ⅳ象限，Q點(diǎn)橫坐標(biāo)x_Q=6$\sqrt{3}$m，虛線右側(cè)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂=B₁．不計(jì)粒子的重力，求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大�。ūＡ羧�位有效數(shù)字）．
（2）半圓形磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小及該半圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積S．
（3）若在a粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)B₁的同時(shí)，另有一質(zhì)量m=10^-12kg、帶負(fù)電q=10^-7C的b粒子，從y軸上的M點(diǎn)（圖中未畫(huà)）仍以速度v₀垂直于y軸射入電場(chǎng)，a、b兩粒子將在磁場(chǎng)B₂區(qū)域迎面相遇于N點(diǎn)，求N點(diǎn)的坐標(biāo)．（不計(jì)a、b粒子間的相互作用力）

Answer 1

分析 （1）a粒子在電場(chǎng)中作類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，抓住粒子在垂直電場(chǎng)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，沿電場(chǎng)方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小．
（2）作出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求出半徑，根據(jù)半徑公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．通過(guò)幾何關(guān)系求出半圓形磁場(chǎng)區(qū)域B₁的最小面積S．
（3）a、b粒子將發(fā)生迎面正碰，故a粒子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)B₂偏轉(zhuǎn)后有b粒子碰撞；先求解粒子從O點(diǎn)經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)B₁、電場(chǎng)、磁場(chǎng)B₂后的時(shí)間以及離開(kāi)磁場(chǎng)B₂的坐標(biāo)點(diǎn)；最后將在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)分為x方向的分運(yùn)動(dòng)和y方向的分運(yùn)動(dòng)列式，根據(jù)位移關(guān)系和時(shí)間關(guān)系列式后聯(lián)立求解．

解答 解：（1）a粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則
 x_Q=v₀t    ①
 y_P=$\frac{1}{2}$at²  ②
又 a=$\frac{qE}{m}$ ③
由①②③解得：E=5.56×10³N/C
（2）a粒子在磁場(chǎng)B₁中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖所示，半徑為R₁．
由圖可知

 y_P=R₁+$\frac{{R}_{1}}{sinθ}$ ④
代入數(shù)據(jù)解得 R₁=1m．
由牛頓第二定律得 qv₀B₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{1}}$ ⑤
由④⑤解得 B₁=1T．
設(shè)a粒子在A點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)B₁，AP的中點(diǎn)為最小半圓磁場(chǎng)區(qū)域的圓心，半徑為r，則
  r=R₁sin60° ⑥
半圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積：s=$\frac{1}{2}π{r}^{2}$=$\frac{3}{8}$π≈1.18m²．⑨
（3）設(shè)a粒子進(jìn)入磁場(chǎng)B₂時(shí)的速度v與x軸的夾角為α，軌道半徑為R₂，則
 tanα=$\frac{at}{{v}_{0}}$
可得 α=30°（10）
v=$\frac{{v}_{0}}{cos30°}$ （11）
則qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$…（12）
得 R₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m
設(shè)a粒子在磁場(chǎng)B₂中出射點(diǎn)為c，由題意分析知b粒子與a粒子在B₂區(qū)域迎面相遇，其軌跡與a粒子軌跡恰好對(duì)稱(chēng)，所以b粒子在磁場(chǎng)B₂中的入射點(diǎn)為c，半徑R₃=R₂…（13）
由粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期 T=$\frac{2πm}{qB}$…（14）
粒子a在B₁和B₂中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T₁、T₂與b粒子在B₂中作圓周運(yùn)動(dòng)的周期T₃的關(guān)系是T₁=T₂=T₃，a粒子在B₁中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t′=$\frac{{T}_{1}}{3}$，所以，當(dāng)a粒子到Q點(diǎn)時(shí)，b粒子在磁場(chǎng)中已運(yùn)動(dòng)了t₁=$\frac{{T}_{2}}{3}$，接下來(lái)在各自運(yùn)動(dòng)三分之一周期即相遇，即a、b粒子相遇點(diǎn)N是軌跡與x軸的交點(diǎn)…（15）
 x_N=x_Q+2R₂cos（$\frac{π}{2}$-α）…（16）
解得 x_N=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$m．
相遇點(diǎn)N的坐標(biāo)為（$\frac{20\sqrt{3}}{3}$m，0m）．
答：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為5.56×10³N/C．
（2）半圓形磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小為1T，該半圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積S為1.18m²．
（3）相遇點(diǎn)N的坐標(biāo)為（$\frac{20\sqrt{3}}{3}$m，0m）．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，要分過(guò)程畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后運(yùn)用牛頓第二定律、類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)公式、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解；本題幾何關(guān)系較為復(fù)雜，表現(xiàn)為多物體、多過(guò)程、多規(guī)律，是典型的“三多”問(wèn)題．