Question

17．如圖所示，水平軌道左端固定一輕質(zhì)彈簧，右端與半徑為R的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，輕質(zhì)彈簧無形變時(shí)右端位于O點(diǎn)，物塊（與彈簧不相連）在外力作用下壓縮彈簧至不同長度時(shí)釋放，可使物塊脫離彈簧時(shí)獲得不同的動(dòng)能E_k，已知物塊質(zhì)量為m，與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，OB=l₁，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力，物塊可看成質(zhì)點(diǎn)．
（1）若彈簧的勁度系數(shù)為k，當(dāng)彈簧被壓縮至A點(diǎn)且OA=l₂時(shí)，求彈簧的彈力為多大？
（2）物塊在從A點(diǎn)被釋放運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的過程中，加速度大小和速度大小如何變化？
（3）要使物塊在圓軌道BCD上運(yùn)動(dòng)時(shí)不與軌道脫離，則物塊在O點(diǎn)的動(dòng)能E_k應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)胡克定律求彈簧彈力；
（2）根據(jù)物塊受力判斷加速度變化，根據(jù)加速度和速度方向判斷速度變化；
（3）要使物塊在圓軌道BCD上運(yùn)動(dòng)時(shí)不與軌道脫離要分兩種情況，即在圓軌道BCD上運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)和在圓形軌道上滑的高度不超過C點(diǎn)所在高度．

解答 解：（1）根據(jù)胡克定律知彈簧彈力F=kx=kl₂；
（2）物塊在從A點(diǎn)被釋放運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的過程中，物塊運(yùn)動(dòng)過程中受到向右的彈簧彈力和向左的滑動(dòng)摩擦力，彈簧彈力越來越小，所以加速度越來越小，又加速度和速度同向，所以速度越來越大，即做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)．
（3）物塊在圓軌道BCD上運(yùn)動(dòng)時(shí)不與軌道脫離，則有兩種情況：
①能通過最高點(diǎn)，則臨界狀態(tài)是最高點(diǎn)對(duì)軌道壓力為0．
設(shè)最高點(diǎn)D的速度為v，臨界狀態(tài)時(shí)對(duì)最高點(diǎn)受力分析：$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：$v=\sqrt{gR}$
對(duì)物塊從O到D用動(dòng)能定理：
$-μmg{l}_{1}-2mgR=\frac{1}{2}m{v}^{2}-{E}_{k}$
解得：${E}_{k}=μmg{l}_{1}+\frac{5}{2}mgR$
所以要使物塊在圓軌道BCD上運(yùn)動(dòng)時(shí)不與軌道脫離，則${E}_{k}≥μmg{l}_{1}+\frac{5}{2}mgR$
②在圓形軌道上滑的高度不超過C點(diǎn)所在高度，臨界狀態(tài)為剛好到達(dá)C點(diǎn)速度為0，則有：
對(duì)物塊從O到C用動(dòng)能定理：
-μmgl₁-mgR=-E_k
解得：E_k=μmgl₁+mgR
又因?yàn)槲飰K要能到達(dá)圓軌道BCD上運(yùn)動(dòng)，所以Ek＞μmgl₁
所以要使物塊在圓軌道BCD上運(yùn)動(dòng)時(shí)不與軌道脫離，則μmgl₁＜E_k≤μmgl₁+mgR．
答：（1）彈簧的彈力為kl₂；
（2）物塊在從A點(diǎn)被釋放運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的過程中，以加速度越來越小，所以速度越來越大，即做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)．
（3）要使物塊在圓軌道BCD上運(yùn)動(dòng)時(shí)不與軌道脫離，${E}_{k}≥μmg{l}_{1}+\frac{5}{2}mgR$或者μmgl₁＜E_k≤μmgl₁+mgR．

點(diǎn)評(píng) 要使物塊在圓軌道BCD上運(yùn)動(dòng)時(shí)不與軌道脫離要分兩種情況，即在圓軌道BCD上運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)和在圓形軌道上滑的高度不超過C點(diǎn)所在高度．①能通過最高點(diǎn)，則臨界狀態(tài)是最高點(diǎn)對(duì)軌道壓力為0．在圓形軌道上滑的高度不超過C點(diǎn)所在高度，臨界狀態(tài)為剛好到達(dá)C點(diǎn)速度為0