Question

圖為某種魚餌自動投放器中的投餌管裝置示意圖，其下半部AB是一長為2R的豎直細(xì)管，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口沿水平方向，AB管內(nèi)有一原長為R、下端固定的輕質(zhì)彈簧．投餌時(shí)，每次總將彈簧長度壓縮到0.5R后鎖定，在彈簧上端放置一粒魚餌，解除鎖定，彈簧可將魚餌彈射出去．設(shè)質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時(shí)，對管壁的作用力恰好為零．不計(jì)魚餌在運(yùn)動過程中的機(jī)械能損失，且鎖定和解除鎖定時(shí)，均不改變彈簧的彈性勢能．已知重力加速度為g.求：

1.質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時(shí)的速度大小v1；

2. 彈簧壓縮到0.5R時(shí)的彈性勢能Ep；

3. 已知地面與水面相距1.5R，若使該投餌管繞AB管的中軸線OO′在90°角的范圍內(nèi)來回緩慢轉(zhuǎn)動，每次彈射時(shí)只放置一粒魚餌，魚餌的質(zhì)量在m到m之間變化，且均能落到水面．持續(xù)投放足夠長時(shí)間后，魚餌能夠落到水面的最大面積S是多少？

 

Answer 1

 

1.

2.3mgR         

3.πR2(或8.25πR2)

解析:

(1)質(zhì)量為m的魚餌到在管口C時(shí)做圓周運(yùn)動的向心力完全由重力提供，則

mg＝m        ①………………（1分）

由①式解得v1＝     ②…………（1分）

(2)彈簧的彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為魚餌的機(jī)械能，由機(jī)械能守恒定律有

Ep＝mg(1.5R＋R)＋mv    ③…………（2分）

由②③式解得

Ep＝3mgR          ④…………（1分）

(3)不考慮因緩慢轉(zhuǎn)動裝置對魚餌速度大小的影響，質(zhì)量為m的魚餌離開管口后做平拋運(yùn)動，設(shè)經(jīng)過t時(shí)間落到水面上，離OO′的水平距離為x1，由平拋運(yùn)動規(guī)律有

4．5R＝gt2        ⑤…………（1分）

x1＝v1t＋R      ⑥…………（1分）

由⑤⑥式解得x1＝4R     ⑦…………（1分）

當(dāng)魚餌的質(zhì)量為m時(shí)，設(shè)其到達(dá)管口C時(shí)速度大小為v2，由機(jī)械能守恒定律有

Ep＝mg(1.5R＋R)＋v      ⑧…………（2分）

由④⑧式解得v2＝2      ⑨…………（1分）

質(zhì)量為m的魚餌落到水面上時(shí)，設(shè)離OO′的水平距離為x2，則

x2＝v2t＋R     ⑩…………（1分）

由⑤⑨⑩式解得x2＝7R …………（2分）

魚餌能夠落到水面的最大面積S

S＝(πx－πx)＝πR2(或8.25πR2)