Question

如圖所示，在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)，有一磁場(chǎng)方向垂直于xOy坐標(biāo)平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一帶正電的粒子（不計(jì)重力）以速度為v₀從原點(diǎn)O沿x軸正向進(jìn)入磁場(chǎng)，帶電粒子恰好不能飛出磁場(chǎng)．求：
（1）磁場(chǎng)的方向和粒子的比荷．
（2）若將上述粒子的入射點(diǎn)上移至y軸上的A點(diǎn)，將粒子仍以速度v₀平行x軸正向射入磁場(chǎng)，若要粒子射出磁場(chǎng)區(qū)域后不能通過(guò)y軸，則OA的距離至少為多少？
（3）若將上述粒子的入射點(diǎn)上移至y軸上的M點(diǎn)，仍將粒子以速度v₀平行x軸正向射入磁場(chǎng)，已知帶電粒子通過(guò)了磁場(chǎng)邊界上的P點(diǎn)，且P點(diǎn)的x值為+

R

4

，后來(lái)粒子軌跡與y軸交于N點(diǎn)，則粒子自M至N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為多少？

Answer 1

分析：（1）磁場(chǎng)的方向由左手定則判斷；據(jù)題，帶電粒子恰好不能飛出磁場(chǎng)，說(shuō)明粒子的軌跡恰好與磁場(chǎng)邊界相切，作出軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)得到軌跡的半徑，即可根據(jù)牛頓第二定律求出粒子的比荷．
（2）若要粒子射出磁場(chǎng)區(qū)域后不能通過(guò)y軸，則在磁場(chǎng)區(qū)域粒子最多運(yùn)動(dòng)四分之一周期．畫(huà)出軌跡，由幾何知識(shí)求解．
（3）畫(huà)出軌跡，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求出軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角α，由t=

α

2π

T求解時(shí)間．

解答：解：（1）由左手定則可知：勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向垂直于紙面向里．
設(shè)粒子在磁場(chǎng)區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r由題意有：R=2r  ①

 qBv₀=m

v 2 0

r

  ②
解①②得：

q

m

=

2v0

BR

  ③
（2）若要粒子射出磁場(chǎng)區(qū)域后不能通過(guò)y軸，則在磁場(chǎng)區(qū)域粒子最多運(yùn)動(dòng)四分之一周期．則由圖乙有：
 sinα=

R 2

R

=

1

2

，α=30°  ④
則 OA=Rcosα-r  ⑤
解④⑤得：
 OA=

3 -1

2

R
（3）設(shè)粒子在磁場(chǎng)區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為O′，過(guò)P作y軸垂線(xiàn)得垂足為Q由圖丙有：

  sinθ=

R 4

R 2

=

1

2

，
 則得 θ=

π

6

  ⑥
設(shè)粒子在磁場(chǎng)區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期和運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為T(mén)，t₁則
 T=

2πr

v0

⑦
 t₁=

π-θ

2π

T  ⑧
設(shè)粒子出磁場(chǎng)后從P至N做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂則
 tanθ=

PN

r

  ⑨
 t₂=

PN

v0

  ⑩
粒子自M至N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t=t₁+t₂
解⑥⑦⑧⑨⑩得：t=

(5π+2 3 )

12

R

v0

答：（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向垂直于紙面向里，粒子的比荷為

q

m

=

2v0

BR

．
（2）OA的距離至少為

3 -1

2

R．
（3）粒子自M至N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

(5π+2 3 )

12

R

v0

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要掌握住半徑公式、周期公式，畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．