Question

16．如圖所示，開口向上粗細(xì)均勻的玻璃管長L=100cm，管內(nèi)有一段高h(yuǎn)=20cm的水銀柱，封閉著長a=50cm的空氣柱，大氣壓強(qiáng)P₀=76cmHg，溫度t₀=27°C．求溫度至少升到多高時(shí)，可使水銀柱全部溢出？

Answer 1

分析 開始溫度升高時(shí)，氣體壓強(qiáng)不變，作等壓變化．在水銀不斷外溢過程中，氣體不再是等壓變化，當(dāng)水銀柱上升至管口時(shí)，溫度再升高，水銀就會(huì)開始溢出，這時(shí)的氣體壓強(qiáng)隨水銀的溢出而減小，氣體的體積在不斷增大，溫度不需要繼續(xù)升高．由理想氣體狀態(tài)方程列出液柱長度與溫度的關(guān)系式，討論溫度的最值．

解答 解：開始溫度升高時(shí)，氣體壓強(qiáng)不變，氣體體積膨脹，水銀柱上升．當(dāng)水銀柱上升至管口時(shí)，溫度再升高，水銀就會(huì)開始溢出，這時(shí)的氣體壓強(qiáng)隨水銀的溢出而減小，氣體的體積在不斷增大，溫度不需要繼續(xù)升高，設(shè)該溫度為t₂，剩余的水銀柱的高度為x，玻璃管的橫截面積為S．
氣體的初始狀態(tài)為：P₁=P₀+h    V₁=aS         T₁=300K
氣體的末狀態(tài)為：P₂=P₀+X    V₂=（100-X）S    T₂=273+t₂
根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程有：$\frac{{{P_1}{V_1}}}{T_1}$=$\frac{{{P_2}{V_2}}}{T_2}$，即：$\frac{{（{P_0}+h）aS}}{300}$=$\frac{{（{P_0}+x）（100-x）S}}{{273+{t_2}}}$
要使剩余氣體全部溢出的溫度t₂最高，則（76+x）（100-x）必為最大．
又因?yàn)?6+x+100-x=176為常數(shù)，所以當(dāng)76+x=100-x，即x=12cm時(shí)，（76+x）（100-x）有最大值．
$\frac{（76+x）（100-x）}{{273+{t_2}}}$=16，解得：t₂=211℃，水銀全部溢出．
答：溫度至少升到211℃時(shí)，可使水銀柱全部溢出．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵要正確分析氣體的狀態(tài)變化過程，明確水銀不斷外溢過程中，氣體不再是等壓變化，溫度隨體積增大按“拋物線”規(guī)律變化，由氣態(tài)方程列式求解最值．