Question

（12分）金屬硬桿軌道“ABCDEFGHIP”固定置于豎直平面內(nèi)，CDE、FGH兩半圓形軌道半徑分別為、，足夠長(zhǎng)的PI、AB直軌與水平均成θ=37°，一質(zhì)量為m的小環(huán)套在AB桿上，環(huán)與BC、EF、HI水平直桿軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.1，其中BC=、EF=、HI=，其他軌道均光滑，軌道拐彎連接處也光滑，環(huán)通過(guò)連接處時(shí)動(dòng)能損失忽略不計(jì)，現(xiàn)環(huán)在AB桿上從距B點(diǎn)處的地方無(wú)初速釋放．已知sin37°=0.6，試求：

（1）從釋放到第一次到達(dá)B所用的時(shí)間；
（2）第一次過(guò)小圓道軌最高點(diǎn)D時(shí)，環(huán)對(duì)軌道的作用力；
（3）小環(huán)經(jīng)過(guò)D的次數(shù)及環(huán)最終停在什么位置？

Answer 1

（1）；（2）；（3）最終停在I處。

試題分析：（1）                  
得：
（2）從A→D：        
得：
第一次在D處：（假設(shè)軌道對(duì)環(huán)的力是向下的）   
得：
所以環(huán)對(duì)軌道的作用力是豎直向上的，大小為
（3）假設(shè)小環(huán)第n次向左過(guò)D時(shí)（n為大于等于1的整數(shù)），速度設(shè)為
由動(dòng)能定理得：
＞0
n＜，所以最多向左第3次通過(guò)D點(diǎn)
假設(shè)小環(huán)第k次向左過(guò)大圓軌道最高點(diǎn)G時(shí)，速度設(shè)為由動(dòng)能定理得：

＞0
k＜，所以最多向左第2次通過(guò)G點(diǎn)
如果環(huán)能第2次向右過(guò)G點(diǎn)，說(shuō)明最終環(huán)在FE之間，所以要證明是否能第2次能向右過(guò)G點(diǎn)，設(shè)第2次向右過(guò)G點(diǎn)時(shí)速度為
由動(dòng)能定理得：
即： 
顯然是動(dòng)能不可能為負(fù)的，說(shuō)明不會(huì)第2次向右過(guò)G點(diǎn)，也就不可能出現(xiàn)第3次向左過(guò)D點(diǎn)。
所以，過(guò)D點(diǎn)的次數(shù)為3次（2次向左1次向右）
當(dāng)環(huán)第2次向左過(guò)G點(diǎn)后，環(huán)只能在G的左側(cè)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，最后停在IH軌道上的某處設(shè)環(huán)在“IH”直軌上的運(yùn)動(dòng)路程為


得，是3a的7倍，所以小環(huán)最終停在I處。