Question

18．如圖甲所示，空間存在著一個范圍足夠大的豎直向下的勻強磁場，磁場的磁感應(yīng)強度大小為B．邊長為L的正方形金屬框abcd（以下簡稱方框）放在光滑的水平面上，其外側(cè)套著一個與方框邊長相同的U形金屬框架MNPQ（以下簡稱U形框），U形框與方框之間接觸良好且無摩擦．兩個金屬框每條邊的質(zhì)量均為m，每條邊的電阻均為r．

（1）將方框固定不動，用力拉動U形框使它以速度v₀垂直NP邊向右勻速運動，當(dāng)U形框的MQ端滑至方框的最右端（如圖乙所示）時，方框上bc兩端的電勢差為多大？此時方框的熱功率為多大？
（2）若方框不固定，給U形框垂直NP邊向右的初速度v₀，如果U形框恰好不能與方框分離，則在這一過程中兩框架上產(chǎn)生的總熱量為多少？
（3）若方框不固定，給U形框垂直NP邊向右的初速度v（v＞v₀），U形框最終將與方框分離，如果從U形框和方框分離開始，經(jīng)過時間t，方框的bc邊和U形框最左兩端距離為S．求兩金屬框分離后的速度各為多大？

Answer 1

分析 （1）U型框向右做切割磁感線運動，由E=BLv₀、歐姆定律求感應(yīng)電流的大小．NP相當(dāng)于電源，bc與ad組成一個并聯(lián)的外電路，即可由歐姆定律和公式P=$\frac{{U}^{2}}{R}$求方框的熱功率．
（2）若方框不固定，方框也向右運動，先做加速度減小的加速運動，U形框恰好不能與方框分離，兩者速度相等而后做勻速運動，整體所受的合力為零，根據(jù)動量守恒求出共同速度，再由能量守恒求熱量．
（3）從U形框和方框不再接觸，兩者都做勻速運動．設(shè)分離時，U形框速度為v₁，方框速度為v₂，根據(jù)動量守恒和運動學(xué)公式列式求兩金屬框分離后的速度．

解答 解：（1）U形框右邊產(chǎn)生感應(yīng)電動勢：E=BLv₀
方框總電阻：R=$\frac{3r•r}{3r+r}$=$\frac{3}{4}$ r 
總電流：I=$\frac{E}{R+3r}$
bc兩端電勢差：U=IR
由以上各式解得：U=$\frac{1}{5}$ BLv₀ 
方框熱功率：P=$\frac{{U}^{2}}{R}$=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}^{2}}{75r}$
（2）U形框恰好不能與方框分離，兩者速度相等，設(shè)共同速度為v，由動量守恒定律，有：3mv₀=（3m+4m）v
據(jù)能量轉(zhuǎn)化與守恒，可知：Q=$\frac{1}{2}$•3m${v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}$•（3m+4m）v² 
解得：Q=$\frac{6}{7}$m${v}_{0}^{2}$
（3）設(shè)分離時，U形框速度為v₁，方框速度為v₂，由動量守恒可知：3mv₀=3mv₁+4mv₂
 從U形框和方框不再接觸后，都做勻速運動，則有  s=v₁t-v₂t
解得：v₁=$\frac{3v}{7}$+$\frac{4s}{7t}$ 
  v₂=$\frac{3v}{7}$-$\frac{3s}{7t}$
答：（1）方框上的bc兩端的電勢差為$\frac{1}{5}$BLv₀，此時方框的熱功率為$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}^{2}}{75r}$．
（2）這一過程中兩框架上產(chǎn)生的總熱量為$\frac{6}{7}$m${v}_{0}^{2}$．
（3）兩金屬框分離后的速度分別$\frac{3v}{7}$+$\frac{4s}{7t}$，與$\frac{3v}{7}$-$\frac{3s}{7t}$．

點評 本題是電磁感應(yīng)與電路、力學(xué)知識的綜合，關(guān)鍵要判斷出線框的受力情況和運動情況，會根據(jù)法拉第定律、歐姆定律、動量守恒定律等等知識結(jié)合進行求解．