Question

如圖所示，在xOy平面的第一象限內(nèi)存在著方向垂直紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在第四象限內(nèi)存在方向沿負(fù)x方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．從y軸上坐標(biāo)為（0，a）的P點(diǎn)同時(shí)沿垂直磁場(chǎng)方向向磁場(chǎng)區(qū)發(fā)射速度大小不是都相等的帶正電的同種粒子，粒子的速度方向在與y軸正方向成30°～150°角的范圍內(nèi)，結(jié)果所有粒子經(jīng)過磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后都垂直打到x軸上，然后進(jìn)入第四象限內(nèi)的電場(chǎng)區(qū)．已知帶電粒子電量為+q，質(zhì)量為m，不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用力．
（1）求全部粒子經(jīng)過x軸的時(shí)間差．
（2）求粒子通過x軸時(shí)的位置范圍．
（3）已知從P點(diǎn)發(fā)出時(shí)速度最大的粒子受到的磁場(chǎng)力與它在電場(chǎng)中受到的電場(chǎng)力大小相等，求從P點(diǎn)發(fā)出時(shí)速度最小的粒子穿過電場(chǎng)后在y軸上的Q點(diǎn)射出電場(chǎng)時(shí)的速度大小v．

Answer 1

分析：（1）由題意，所有粒子經(jīng)過磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后都垂直打到x軸上，先找出兩個(gè)邊界上的粒子，分析在第一象限內(nèi)的運(yùn)動(dòng)情況，可知與y軸正方向成30°的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長，與y軸正方向成150°的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短．由幾何知識(shí)可確定粒子的速度偏向角θ最小值和最大值，而速度的偏向角等于軌跡的圓心角θ，根據(jù)t=

θ

2π

T，即得到粒子在磁場(chǎng)中的最短時(shí)間和最長時(shí)間，求出時(shí)間差．
（2）利用帶電粒子在有邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)確定圓心和半徑的方法，分別求出兩種粒子經(jīng)過x軸時(shí)距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，從而可表示出粒子打到 x 軸上的范圍．
（3）軌跡半徑最大的粒子，其速度也最大，由（2）問結(jié)果得到最大半徑，由半徑公式求得最大速度．軌跡半徑最小的粒子，其速度也最小，由（2）問結(jié)果得到最小半徑，由半徑公式求得最小速度．由題，速度最大的粒子受到的磁場(chǎng)力與它在電場(chǎng)中受到的電場(chǎng)力大小相等，即求出粒子所受的電場(chǎng)力大小．所有粒子在電場(chǎng)中受到的電場(chǎng)力大小相等．再根據(jù)動(dòng)能定理求解速度最小的粒子穿過電場(chǎng)后在y軸上的Q點(diǎn)射出電場(chǎng)時(shí)的速度大小v．

解答：解（1）所有粒子在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，與y軸正方向成150°的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，其速度的偏向角為

π

6

，最短時(shí)間為：tmin=

π 6

2π

T=

T

12

所有粒子在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，與y軸正方向成30°的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長，其速度的偏向角為

5π

6

，最長時(shí)間為：tmax=

5π 6

2π

T=

5T

12

故全部粒子經(jīng)過x軸的時(shí)間△t=t_max-t_min=

1

3

T=

2πm

3qB

（2）與y軸夾角150°入射的粒子軌跡半徑為  R1=

a

sin30°

=2a
打在最左邊的坐標(biāo)是 x1=R1(1-cos30°)=(2-

3

)a
與y軸夾角的粒子軌跡半徑為 R₂=

a

sin30°

=2a
打在最右邊的坐標(biāo)是 x2=R2(1+cos30°)=(2+

3

)a
粒子通過x軸時(shí)的位置范圍是(2-

3

)a≤x≤(2+

3

)a
（3）半徑為2a的粒子發(fā)出時(shí)速度最大，設(shè)為v₁
則 2a=

mv1

qB

∴v1=

2aqB

m

∴電場(chǎng)力F=qv1B=

2aq2B2

m

半徑為a的粒子發(fā)出時(shí)速度最小，設(shè)為v₂，
在磁場(chǎng)中a=

mv2

qB

∴v2=

aqB

m

第四象限中，Fa=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 2

得v=

5 aqB

m

答：
（1）全部粒子經(jīng)過x軸的時(shí)間差是

2πm

3qB

．
（2）粒子通過x軸時(shí)的位置范圍是(2-

3

)a≤x≤(2+

3

)a．
（3）從P點(diǎn)發(fā)出時(shí)速度最小的粒子穿過電場(chǎng)后在y軸上的Q點(diǎn)射出電場(chǎng)時(shí)的速度大小v是

5 aqB

m

．

點(diǎn)評(píng)：本題的解題關(guān)鍵是利用幾何知識(shí)確定粒子速度的偏向角，確定運(yùn)動(dòng)時(shí)間和軌跡半徑．