Question

（2007?江蘇）如圖所示，一輕繩吊著粗細(xì)均勻的棒，棒下端離地面高H，上端套著一個(gè)細(xì)環(huán)．棒和環(huán)的質(zhì)量均為m，相互間最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力kmg（k＞1）．?dāng)嚅_輕繩，棒和環(huán)自由下落．假設(shè)棒足夠長(zhǎng)，與地面發(fā)生碰撞時(shí)，觸地時(shí)間極短，無(wú)動(dòng)能損失．棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持豎直，空氣阻力不計(jì)．求：
（1）棒第一次與地面碰撞彈起上升過(guò)程中，環(huán)的加速度；
（2）從斷開輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間，棒運(yùn)動(dòng)的路程S；
（3）從斷開輕繩到棒和環(huán)都靜止，摩擦力對(duì)環(huán)及棒做的總功W．

Answer 1

分析：（1）在棒上升的過(guò)程中，環(huán)要受到重力的作用，同時(shí)由于環(huán)向下運(yùn)動(dòng)而棒向上運(yùn)動(dòng)，環(huán)還要受到棒的向上的摩擦力的作用，根據(jù)牛頓第二定律列式可以求得加速度的大小．
（2）棒運(yùn)動(dòng)的總路程為原來(lái)下降的高度H，加上第一次上升高度的兩倍，對(duì)棒受力分析可以求得棒的加速度的大小，在由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可以求得上升的高度．
（3）整個(gè)過(guò)程中能量的損失都是由于摩擦力對(duì)物體做的功，所以根據(jù)能量的守恒可以較簡(jiǎn)單的求得摩擦力對(duì)環(huán)及棒做的總功．

解答：解：（1）設(shè)棒第一次上升過(guò)程中，環(huán)的加速度為a_環(huán)，
由牛頓第二定律得：kmg-mg=ma_環(huán)
解得：a_環(huán)=（k-1）g，方向豎直向上
（2）設(shè)棒第一次落地的速度大小為v₁
由機(jī)械能守恒得：

1

2

2m

v

2 1

=2mgH
解得：v1=

2gH

設(shè)棒彈起后的加速度為a_棒，由牛頓第二定律得：
a_棒=-（k+1）g
棒第一次彈起的最大高度為：H1=

v 2 1

2a棒

解得：H1=

H

k+1

棒運(yùn)動(dòng)的路程為：S=H+2H1=

k+3

k+1

H
（3）解法一：
棒第一次彈起經(jīng)過(guò)t₁時(shí)間，與環(huán)達(dá)到相同速度v′₁
環(huán)的速度：v′₁=-v₁+a_環(huán)t₁
棒的速度：v′₁=v₁+a_棒t₁
環(huán)的位移：h環(huán)1=-v1t1+

1

2

a環(huán)

t

2 1

棒的位移：h棒1=v1t1+

1

2

a棒

t

2 1

環(huán)第一次相對(duì)棒的位移為：x1=h環(huán)1-h棒1=-

2H

k

棒環(huán)一起下落至地：

v

2 2

-

v

/2 1

=2gh棒1
解得：v2=

2gH k

同理，環(huán)第二次相對(duì)棒的位移為x2=h環(huán)2-h棒2=-

2H

k2

…xn=-

2H

kn

環(huán)相對(duì)棒的總位移為：x=x₁+x₂+…+x_n
摩擦力對(duì)棒及環(huán)做的總功為：W=kmgx=-

2kmgH

k-1

解法二：
設(shè)環(huán)相對(duì)棒滑動(dòng)距離為l
根據(jù)能量守恒  mgH+mg（H+l）=kmgl
摩擦力對(duì)棒及環(huán)做的總功為：W=-kmgl
解得：W=-

2kmgH

k-1

．
答：（1）環(huán)的加速度為（k-1）g，方向豎直向上．
（2）從斷開輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間，棒運(yùn)動(dòng)的路程：S=H+2H1=

k+3

k+1

H．
（3）從斷開輕繩到棒和環(huán)都靜止，摩擦力對(duì)環(huán)及棒做的總功W=-

2kmgH

k-1

．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)比求摩擦力總功的兩種方法可以發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用能量的守恒來(lái)解決本題可以很簡(jiǎn)單的球的結(jié)果，這樣既能夠簡(jiǎn)化解題的過(guò)程還可以節(jié)約寶貴的時(shí)間，所以在平時(shí)一定要考慮如何解題能夠簡(jiǎn)單快捷．