Question

12．如圖所示，A船從港口P出發(fā)去攔截正以速度v₀沿直線航行的B船，A船啟動(dòng)時(shí)，B船位于M位置，P與B船所在航線的垂直距離為a，P與M的距離為b，設(shè)A船啟航就做勻速直線運(yùn)動(dòng)，A船能攔截到B船的最小速度為$\frac{a{v}_{0}}$．

Answer 1

分析 對(duì)A的速度沿MN和PN的方向進(jìn)行正交分解，利用等時(shí)性在MN和PN的方向上列式，通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的推導(dǎo)，即可得知A船能攔截到B船的最小速度．

解答 解：對(duì)B船的速度沿MN和PN的方向進(jìn)行正交分解為v_x和v_y，有運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性有：
$\frac{a}{{v}_{y}}$=$\frac{\sqrt{^{2}-{a}^{2}}}{{v}_{0}-{v}_{x}}$
得：v_y=$\frac{a（{v}_{0}-{v}_{x}）}{\sqrt{^{2}-{a}^{2}}}$…①
A船的速度為：
v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$…②
折MN的長(zhǎng)度為c，有：b²-a²=c²…③
將①式代入②式并結(jié)合③式得：
v=$\sqrt{\frac{（b{v}_{x}-\frac{{a}^{2}{v}_{0}}）^{2}}{{c}^{2}}+\frac{{a}^{2}{v}_{0}^{2}}{^{2}}}$
當(dāng)且僅當(dāng)$b{v}_{x}=\frac{{a}^{2}{v}_{0}}$時(shí)，v有最小值，為：
v=$\frac{a{v}_{0}}$
故答案為：$\frac{a{v}_{0}}$

點(diǎn)評(píng) 該題是一道非常容易出錯(cuò)的一道題，往往會(huì)認(rèn)為A船沿PN的方向航行，速度最�。�解答該題的關(guān)鍵是把A船的速度進(jìn)行正交分解后，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)列式并推導(dǎo)出A的速度的表達(dá)式，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)判斷A船的速度由極值的條件，繼而可得A船的最小速度．該題還可利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求解，以B為參考系，A相對(duì)于B的運(yùn)動(dòng)就是沿PM方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，也可得知A船最小速度．