Question

【題目】某種透明材料制成的空心球體內(nèi)徑為 R，外徑是內(nèi)徑的 2 倍，其截面（紙面內(nèi)）如圖所示。一束單色光（紙面內(nèi)）從外球面上 A 點(diǎn)入射，人射角為 45°時(shí)，光束經(jīng)折射后恰好與內(nèi)球面 B 點(diǎn)相切。

（1）求該透明材料的折射率；

（2）如果在內(nèi)表面涂上能完全吸光的物質(zhì)，當(dāng)一束平行光射向此球時(shí)被內(nèi)表面吸收掉的光束在射進(jìn)空心球前的橫截面積是多少？

（3）在第（1）問(wèn)的條件下，欲使如圖所示的光束能射入空心球內(nèi)部空心區(qū)域，從 A 入射的光線的入射角應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

【答案】（1）。（2） （3）

【解析】

（1）如圖所示，設(shè)光束經(jīng)折射后到達(dá)內(nèi)球面上 B 點(diǎn)。在 A 點(diǎn)，由題意知，

入射角 i＝45°，折射角 r＝∠BAO

由幾何關(guān)系有：=0.5

由折射定律有：

代入數(shù)據(jù)解得 n＝

（2）

如圖所示，平行光束為半徑為 R 的空心部分被吸收，不被吸收的極限光線是與 a

球相切的光線 AB，由幾何關(guān)系有：

Ro=2Rsini

R=2Rsinr

由折射定律有： sini=nsinr

故被吸收掉的光束的橫截面積為：S=2πR2

（3）如圖所示。設(shè)在 A 點(diǎn)的入射角為 i′時(shí)，光束經(jīng)折射后到達(dá)內(nèi)球面上 C 點(diǎn)，并在 C 點(diǎn)恰好發(fā)生全反射，則光束在內(nèi)球面上的入射角∠ACD恰好等于臨界角 C。

由 sinC＝得 C＝45°

由正弦定理得……

又 AO＝2CO

由折射定律有……

解得…

因此入射角滿足的光線將射入空心球內(nèi)部。