Question

17．2005年10月12日，我國成功發(fā)射了“神舟”六號載人飛船．這是繼2003年10月15日“神舟”五號載人飛船成功發(fā)射之后，人類探索太空歷史上的又一次重要成就．這次執(zhí)行任務(wù)的長二F型運載火箭，全長58.3m，起飛質(zhì)量為479.8t，剛起飛時，火箭豎直升空，航天員費俊龍、聶海勝有較強的超重感，儀器顯示他們對座艙的最大壓力達到他們體重的5倍．飛船入軌之后，在115.5h內(nèi)環(huán)繞地球飛行77圈，將飛船的軌道簡化為圓形，求
（1）點火發(fā)射時，火箭的最大推力；（g取10m/s²，結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）
（2）飛船運行軌道與地球同步衛(wèi)星軌道的半徑之比．（可以保留根號）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律解出航天員的加速度，此加速度也是飛船的加速度，再對飛船列牛頓第二定律，解出其所需的推力；
（2）研究飛船繞地球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式表示出周期，再根據(jù)已知量周期找出未知量軌道半徑之比．

解答 解：（1）對宇航員進行受力分析，并由牛頓第二定律得
N=5mg，
N-mg=ma
對火箭應(yīng)用牛頓第二定律得
F-Mg=Ma
由以上兩式解得F=5Mg=2.4×10⁷N
（2）飛船運行周期${T}_{1}=\frac{115.5}{77}h=1.5h$，軌道半徑為r₁，
同步衛(wèi)星運行周期為T₂=24 h，軌道半徑為r₂，對飛船及同步衛(wèi)星分別有
$G\frac{Mm}{{r}_{1}^{2}}=m{r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{T}_{1}^{2}}$
$G\frac{Mm}{{r}_{2}^{2}}=m{r}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}_{2}^{2}}$
解得：$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}=\root{3}{\frac{{T}_{1}^{2}}{{T}_{2}^{2}}}$=$\frac{1}{4\root{3}{4}}$
答：（1）點火發(fā)射時，火箭的最大推力為2.4×10⁷N；
（2）飛船運行軌道與地球同步衛(wèi)星軌道的半徑之比為$\frac{1}{4\root{3}{4}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握牛頓第二定律，以及萬有引力提供向心力分析，第2問也可以由普勒第三定律$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}=C$分析求解．