Question

9．某行星的半徑為R，以其第一宇宙速度運行的衛(wèi)星的周期為T₀，又知該行星的一顆同步衛(wèi)星的線速度的大小為v，不考慮其他星球的影響，僅根據以上物理量不能求出（　　）

• A． 該行星的質量M
• B． 該行星的自轉周期T
• C． 該行星表面的重力加速度g
• D． 該同步衛(wèi)星距離行星表面的高度h

Answer 1

分析 （1）根據軌道星球表面重力等于萬有引力求解重力加速度；
（2）第一宇宙速度的半徑為R，根據$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}R}{{{T}_{0}}^{2}}$求出GM，再根據萬有引力提供向心力$G\frac{Mm′}{{（R+h）}^{2}}=m′\frac{{v}^{2}}{（R+h）}$求出同步衛(wèi)星的高度．
（3）行星自轉周期等于同步衛(wèi)星的運轉周期，根據T=$\frac{2π（R+h）}{v}$求出自轉周期．

解答 解：A、以其第一宇宙速度運行的衛(wèi)星的軌道半徑即為行星的半徑R，
根據萬有引力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}R}{{{T}_{0}}^{2}}$①
由于題目中沒有告知萬有引力常量G，所以無法求解該行星質量，故A正確；
B、星球表面重力等于萬有引力，則有：
mg=m$\frac{4{π}^{2}R}{{{T}_{0}}^{2}}$
解得：該行星表面的重力加速度g=$\frac{4{π}^{2}R}{{{T}_{0}}^{2}}$，
設同步衛(wèi)星的質量為m′，則有：
$G\frac{Mm′}{{（R+h）}^{2}}=m′\frac{{v}^{2}}{（R+h）}$②
由①②解得：
h=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{{T}_{0}}^{2}{v}^{2}}$，
同步衛(wèi)星的周期T=$\frac{2π（R+h）}{v}$=$\frac{2π（R+\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{{T}_{0}}^{2}{v}^{2}}）}{v}$
該行星自轉周期等于同步衛(wèi)星周期，故BCD錯誤．
本題選不可求得的
故選：A

點評 解決本題的關鍵知道第一宇宙速度是衛(wèi)星貼著行星表面做圓周運動的速度，知道衛(wèi)星繞行星做圓周運動靠萬有引力提供向心力．