Question

17．已知引力常量G和以下各組數(shù)據(jù)，可以計算出月球的質(zhì)量的是（　�。�

• A． 人造衛(wèi)星繞地球運行的周期T及衛(wèi)星離地球中心的距離r
• B． 人造衛(wèi)星繞月球運行的周期T及衛(wèi)星離月球中心的距離r
• C． 人造衛(wèi)星在月球附近繞行時的速度v和角速度ω
• D． 若不考慮月球的自轉(zhuǎn)，已知月球的半徑R及月球表面的重力加速度g

Answer 1

分析 地球、月球、人造衛(wèi)星等做勻速圓周運動，它們受到的萬有引力充當向心力，用它們的運動周期表示向心力，由萬有引力定律結(jié)合牛頓第二定律列式求中心天體的質(zhì)量，然后由選項條件判斷正確的答案．

解答 解：A、人造衛(wèi)星繞地球運動的周期和衛(wèi)星離地球中心的距離，根據(jù)萬有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，其中m為衛(wèi)星質(zhì)量，在等式中消去，只能求出地球的質(zhì)量M．也就是說只能求出中心體的質(zhì)量．故A錯誤．
B、根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得$M=\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，已知人造衛(wèi)星繞月球運行的周期T及衛(wèi)星離月球中心的距離r，能求出月球的質(zhì)量，故B正確．
C、人造地球衛(wèi)星在月球附近繞行時，軌道半徑近似等于月球的半徑，由$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，則月球的質(zhì)量 M=$\frac{R{v}^{2}}{G}$；又 R=$\frac{v}{ω}$，可得：M=$\frac{{v}^{3}}{Gω}$，可以求出月球的質(zhì)量，故C正確．
D、根據(jù)重力等于萬有引力，得：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，得月球的質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，由于月球的半徑R已知，所以能求出月球的質(zhì)量．故D正確．
故選：BCD

點評 解答萬有引力定律在天體運動中的應(yīng)用時要明確天體做勻速圓周運動，其受到的萬有引力提供向心力，會用線速度、角速度、周期表示向心力，同時注意公式間的化簡．