Question

第一象限的某個矩形區(qū)域內(nèi)，有方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場B₁，磁場的下邊界與x軸重合。一質(zhì)量m＝1×10^－14kg、電荷量q＝1×10^－10C的帶正電微粒以某一速度v沿與y軸負(fù)方向成60°角的方向從N點(diǎn)射入，經(jīng)P點(diǎn)進(jìn)入第四象限內(nèi)沿直線運(yùn)動，一段時間后，微粒經(jīng)過y軸上的M點(diǎn)并沿與y軸負(fù)方向成60°角的方向飛出。第四象限內(nèi)有互相正交的勻強(qiáng)電場E與勻強(qiáng)磁場B₂，E的大小為0.5×10³ V/m，B₂的大小為0.5 T；M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，－10 cm)，N點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,30 cm)，不計微粒重力。

(1)求勻強(qiáng)磁場B₁的大小和微粒的運(yùn)動速度v；

(2)B₁磁場區(qū)域的最小面積為多少？

Answer 1

解析：(1)帶正電微粒以某一速度v沿與y軸負(fù)方向成60°角的方向從N點(diǎn)射入，由于重力忽略不計，微粒在第一象限內(nèi)僅受洛倫茲力做勻速圓周運(yùn)動；微粒在第四象限內(nèi)僅受電場力和洛倫茲力，且微粒做直線運(yùn)動，速度的變化會引起洛倫茲力的變化，所以微粒必做勻速直線運(yùn)動，因此，電場力和洛倫茲力大小相等，方向相反，由力的平衡有Eq＝B₂qv

所以v＝＝ m/s＝1×10³ m/s

根據(jù)題意畫出微粒的運(yùn)動軌跡如圖：

因為M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，－10)，N點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,30)，由幾何關(guān)系可知微粒在第一象限內(nèi)做圓周運(yùn)動的半徑為

R＝ cm＝ m

微粒做圓周運(yùn)動的向心力由洛倫茲力提供，即qB₁v＝m

解得B₁＝T。

(2)由圖可知，磁場B₁的最小區(qū)域應(yīng)該分布在圖示的矩形PACD內(nèi)。由幾何關(guān)系易得

PD＝2Rsin60°＝0.2 m

PA＝R(1－cos60°)＝ m

所以，所求磁場的最小面積為

S＝PD·PA＝× m²＝ m²。

答案：(1) T　1×10³ m/s　(2) m²