Question

12．如圖，一輕質(zhì)彈簧一端固定、另一端與質(zhì)量為M的小滑塊連接，開始時(shí)滑塊靜止在水平導(dǎo)軌的O點(diǎn)，彈簧處于原長(zhǎng)狀態(tài)．導(dǎo)軌的OA段是粗糙的，其余部分都是光滑的．有一質(zhì)量為m的子彈以大小為v的速度水平向右射入滑塊，并很快停留在滑塊中．之后，滑塊先向右滑行并越過A點(diǎn)，然后再向左滑行，最后恰好停在出發(fā)點(diǎn)O處．
（1）求滑塊滑行過程中彈簧彈性勢(shì)能的最大值．
（2）滑塊停在O點(diǎn)后，另一質(zhì)量也為m的子彈以另一速度水平向右射入滑塊并很快停留在滑塊中，此后滑塊滑行過程先后有兩次經(jīng)過O點(diǎn)．求第二顆子彈入射前的速度u的大小在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

分析 （1）一顆子彈射入滑塊后，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出速度．滑塊向右滑行至最右端時(shí)，彈簧彈性勢(shì)能達(dá)到最大，由能量守恒定律列出方程．滑塊由最右端向左滑行至O點(diǎn)，再由功能關(guān)系得到彈簧的彈性勢(shì)能與OA段的長(zhǎng)度的關(guān)系式，聯(lián)立求出彈簧彈性勢(shì)能的最大值．
（2）由動(dòng)量守恒定律求出第二顆子彈射入滑塊后滑塊的速度，若滑塊第一次返回O點(diǎn)時(shí)就停下，根據(jù)能量守恒定律求出速度u；若滑塊第一次返回O點(diǎn)后繼續(xù)向左滑行，再向右滑行，且重復(fù)第一次滑行過程，最后停在O點(diǎn)，由能量守恒定律求出速度u，聯(lián)立即可得到速度u的范圍．

解答 解：（1）設(shè)OA段的長(zhǎng)度為l，與滑塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，設(shè)第一顆子彈射入滑塊后滑塊的速度為v₁，
由動(dòng)量守恒定律得   mv=（M+m）v₁                  ①
滑塊向右滑行至最右端時(shí)，彈簧彈性勢(shì)能達(dá)到最大，設(shè)為EP，由功能關(guān)系得
$\frac{1}{2}$（M+m）v₁²=μ（M+m）?gl+E_P         ②
滑塊由最右端向左滑行至O點(diǎn)，由功能關(guān)系得
E_P=μ（M+m）gl                        ③
解得：${E_P}=\frac{{{m^2}{v^2}}}{4（M+m）}$④
（2）設(shè)第二顆子彈射入滑塊后滑塊的速度為v₂，
由動(dòng)量守恒定律得    mu=（M+2m）v₂         ⑤
若滑塊第一次返回O點(diǎn)時(shí)就停下，則滑塊的運(yùn)動(dòng)情況與前面的情況相同
$\frac{1}{2}$（M+2m）v₂²=μ（M+2m）g?2l  ⑥
解得$u=\frac{M+2m}{M+m}v$⑦
若滑塊第一次返回O點(diǎn)后繼續(xù)向左滑行，再向右滑行，且重復(fù)第一次滑行過程，最后停在O點(diǎn)，則$\frac{1}{2}$（M+2m）v₂²=μ（M+2m）g?4l     ⑧
解得$u=\frac{M+2m}{M+m}\sqrt{2}v$⑨
第二顆子彈入射前的速度u 的大小在以下范圍內(nèi)$\frac{M+2m}{M+m}v＜u＜\frac{M+2m}{M+m}\sqrt{2}v$
答：（1）滑塊滑行過程中彈簧彈性勢(shì)能的最大值為$\frac{{m}^{2}{v}^{2}}{4（M+m）}$．
（2）第二顆子彈入射前的速度u的大小范圍為$\frac{M+2m}{M+m}v＜u＜\frac{M+2m}{M+m}\sqrt{2}v$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)量守恒定律和能量守恒關(guān)系在子彈打木塊模型中的應(yīng)用，注意研究對(duì)象的選取和能量守恒關(guān)系的應(yīng)用，要挖掘隱含的臨界條件，確定速度u的速度范圍．