Question

18．假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，已知地球表面的重力加速度在兩極的大小為g₀，在赤道的大小為g；地球半徑為R，引力常數(shù)為G，則（　　）

• A． 地球同步衛(wèi)星的高度為（$\root{3}{\frac{{g}_{0}}{{g}_{0}-g}}$-1）R
• B． 地球的質(zhì)量為$\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{G}$
• C． 地球的第一宇宙速度為$\sqrt{gR}$
• D． 地球密度為$\frac{3g}{4πGR}$

Answer 1

分析 質(zhì)量為m的物體在兩極所受地球的引力等于其所受的重力，在赤道的物體所受地球的引力等于其重力和向心力的矢量和，根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律列式后聯(lián)立求解即可．

解答 解：AB、質(zhì)量為m的物體在兩極所受地球的引力等于其所受的重力，故：
$m{g_0}=G\frac{Mm}{R^2}$
所以地球的質(zhì)量：M=$\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{G}$
在赤道，引力為重力和向心力的矢量和，故：
$mg+m\frac{{4{π^2}}}{T^2}R=G\frac{Mm}{R^2}$
聯(lián)立解得：T=2π$\sqrt{\frac{R}{{g}_{0}-g}}$
同步衛(wèi)星受到的萬(wàn)有引力提供向心力，則：
$\frac{GMm′}{（R+h）^{2}}=\frac{m′•4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$
所以：h=（$\root{3}{\frac{{g}_{0}}{{g}_{0}-g}}$-1）R．故AB正確；
C、近地衛(wèi)星受到的萬(wàn)有引力提供向心力，所以：$G\frac{Mm′}{{R}^{2}}=\frac{m′{v}^{2}}{R}$
聯(lián)立得：v=$\sqrt{{g}_{0}R}$．故C錯(cuò)誤；
D、地球的密度：$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3{g}_{0}}{4πGR}$．故D錯(cuò)誤．
故選：AB

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是認(rèn)識(shí)到在赤道處的重力實(shí)為地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力減去物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力，掌握力的關(guān)系是正確解題的前提．