Question

8．如圖所示，AB為粗糙水平面，長(zhǎng)度AB=5R，其右端與光滑、半徑為R的$\frac{1}{4}$圓弧BC平滑相接，C點(diǎn)的切線沿豎直方向，在C點(diǎn)的正上方有一離C點(diǎn)高度也為R的旋轉(zhuǎn)平臺(tái)，沿平臺(tái)直徑方向開(kāi)有兩個(gè)離軸心距離相等的小孔P、Q，旋轉(zhuǎn)時(shí)兩孔均能達(dá)到C點(diǎn)的正上方．某時(shí)刻，質(zhì)量為m可視為質(zhì)點(diǎn)的滑塊，與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，當(dāng)它以v₀=3$\sqrt{gR}$的速度由A點(diǎn)開(kāi)始向B點(diǎn)滑行時(shí)：
（1）求滑塊通過(guò)C點(diǎn)的速度；
（2）求滑塊通過(guò)P點(diǎn)的速度；
（3）若滑塊滑過(guò)C點(diǎn)后能通過(guò)P孔，又恰能從Q孔落下，則平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）滑塊由A點(diǎn)到C點(diǎn)，利用動(dòng)能定理即可求到達(dá)C點(diǎn)的速度．
（2）滑塊由A點(diǎn)到P點(diǎn)，利用動(dòng)能定理即可求到達(dá)P點(diǎn)的速度．
（3）滑塊穿過(guò)P孔做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，由題意，滑塊滑過(guò)C點(diǎn)后正好穿過(guò)P孔，又恰能從Q孔落下，故應(yīng)在滑塊下落的時(shí)間內(nèi)，平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)半周的奇數(shù)倍．根據(jù)滑塊上拋的時(shí)間，求出平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的周期，即可求出角速度的條件．

解答 解：（1）滑塊由A點(diǎn)到C點(diǎn)，由動(dòng)能定理有
-μmg•5R-mgR=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv₀²．
代入數(shù)據(jù)解得 v_C=$\sqrt{6gR}$
（2）設(shè)滑塊到達(dá)P處時(shí)速度為v_P，則由動(dòng)能定理有
-μmg•5R-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_P²-$\frac{1}{2}$mv₀²．
代入數(shù)據(jù)解得 v_P=2$\sqrt{gR}$
（3）滑塊穿過(guò)P孔后再回到平臺(tái)的時(shí)間 t=$\frac{2{v}_{P}}{g}$
要想使滑塊從Q孔穿過(guò)，需滿足ωt=（2n+1）π （n=0，1，2，…）
聯(lián)立解得ω=$\frac{（2n+1）π}{4}$$\sqrt{\frac{g}{R}}$ （n=0，1，2，…）
答：
（1）滑塊通過(guò)C點(diǎn)的速度是$\sqrt{6gR}$；
（2）滑塊通過(guò)P點(diǎn)的速度是2$\sqrt{gR}$；
（3）若滑塊滑過(guò)C點(diǎn)后能通過(guò)P孔，又恰能從Q孔落下，則平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω應(yīng)滿足的條件是ω=$\frac{（2n+1）π}{4}$$\sqrt{\frac{g}{R}}$ （n=0，1，2，…）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查機(jī)械能守恒定律及動(dòng)能定理的應(yīng)用，在解題時(shí)要注意靈活選擇運(yùn)動(dòng)過(guò)程，對(duì)不同的過(guò)程應(yīng)用合適的物理規(guī)律；同時(shí)注意最后一問(wèn)中的周期性．