Question

8．如圖所示，AB為粗糙水平面，長度AB=5R，其右端與光滑、半徑為R的$\frac{1}{4}$圓弧BC平滑相接，C點的切線沿豎直方向，在C點的正上方有一離C點高度也為R的旋轉(zhuǎn)平臺，沿平臺直徑方向開有兩個離軸心距離相等的小孔P、Q，旋轉(zhuǎn)時兩孔均能達到C點的正上方．某時刻，質(zhì)量為m可視為質(zhì)點的滑塊，與水平地面間的動摩擦因數(shù)μ=0.1，當它以v₀=3$\sqrt{gR}$的速度由A點開始向B點滑行時：
（1）求滑塊通過C點的速度；
（2）求滑塊通過P點的速度；
（3）若滑塊滑過C點后能通過P孔，又恰能從Q孔落下，則平臺轉(zhuǎn)動的角速度ω應滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）滑塊由A點到C點，利用動能定理即可求到達C點的速度．
（2）滑塊由A點到P點，利用動能定理即可求到達P點的速度．
（3）滑塊穿過P孔做豎直上拋運動，由題意，滑塊滑過C點后正好穿過P孔，又恰能從Q孔落下，故應在滑塊下落的時間內(nèi)，平臺轉(zhuǎn)動半周的奇數(shù)倍．根據(jù)滑塊上拋的時間，求出平臺轉(zhuǎn)動的周期，即可求出角速度的條件．

解答 解：（1）滑塊由A點到C點，由動能定理有
-μmg•5R-mgR=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv₀²．
代入數(shù)據(jù)解得 v_C=$\sqrt{6gR}$
（2）設滑塊到達P處時速度為v_P，則由動能定理有
-μmg•5R-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_P²-$\frac{1}{2}$mv₀²．
代入數(shù)據(jù)解得 v_P=2$\sqrt{gR}$
（3）滑塊穿過P孔后再回到平臺的時間 t=$\frac{2{v}_{P}}{g}$
要想使滑塊從Q孔穿過，需滿足ωt=（2n+1）π （n=0，1，2，…）
聯(lián)立解得ω=$\frac{（2n+1）π}{4}$$\sqrt{\frac{g}{R}}$ （n=0，1，2，…）
答：
（1）滑塊通過C點的速度是$\sqrt{6gR}$；
（2）滑塊通過P點的速度是2$\sqrt{gR}$；
（3）若滑塊滑過C點后能通過P孔，又恰能從Q孔落下，則平臺轉(zhuǎn)動的角速度ω應滿足的條件是ω=$\frac{（2n+1）π}{4}$$\sqrt{\frac{g}{R}}$ （n=0，1，2，…）．

點評 本題考查機械能守恒定律及動能定理的應用，在解題時要注意靈活選擇運動過程，對不同的過程應用合適的物理規(guī)律；同時注意最后一問中的周期性．