Question

18．寶石晶瑩剔透，在光線的照射下璀璨奪目．如圖所示的多邊形為一打磨好的寶石的橫截面，其中∠ABC=60°和∠BCD=90°．現(xiàn)有一細(xì)光束從AB邊上的F點(diǎn)垂直AB邊射入，己知該寶石內(nèi)部介質(zhì)分布均勻，折射率n=$\sqrt{3}$，F(xiàn)B=d，BC=L，光在空氣中的傳播速度可認(rèn)為等于在真空中的速度c，求：
I．該細(xì)光束從寶石的橫截面上某條邊第一次射出寶石時(shí)，出射光線與該邊的夾角；
II．該細(xì)光束從射入寶石到第一次射出所需的時(shí)間．

Answer 1

分析 Ⅰ、由sinC=$\frac{1}{n}$，求出臨界角C，可判斷出光在BC邊上發(fā)生了全反射，在DC邊第一次射出寶石，由光的反射定律和幾何知識(shí)求出光線在DC面上的入射角，再由折射定律求折射角，從而求得出射光線與DC邊的夾角．
Ⅱ、由光路圖及幾何知識(shí)求出該細(xì)光束從射入寶石到第一次射出的路程，由公式v=$\frac{c}{n}$求該細(xì)光束從射入寶石到第一次射出的時(shí)間．

解答 解：Ⅰ、設(shè)臨界角為C，有sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，由數(shù)學(xué)知識(shí)可得  30°＜C＜60°
由光路圖及幾何知識(shí)可判斷，光在BC邊上的入射角為 i=60°，大于臨界角，則光在BC邊上發(fā)生全反射
光在DC邊的入射角為 α=30°，小于臨界角，所以光從DC第一次射出寶石．
在DC面上，由折射定律得 n=$\frac{sinβ}{sinα}$
解得 β=60°
則出射光線與DC邊的夾角 θ=90°-β=30°
Ⅱ、根據(jù)幾何知識(shí)可知
  FH=FBtan60°=$\sqrt{3}$d
BH=$\frac{FB}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$d
CH=L-BH=L-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$d
GH=$\frac{CH}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}L-4d}{3}$
光在寶石中傳播速度 v=$\frac{c}{n}$=$\frac{c}{\sqrt{3}}$
則該細(xì)光束從射入寶石到第一次射出所需的時(shí)間為：
t=$\frac{FH+GH}{v}$=$\frac{6L+（9-4\sqrt{3}）d}{c}$
答：I．該細(xì)光束從寶石的橫截面上某條邊第一次射出寶石時(shí)，出射光線與該邊的夾角是60°；
II．該細(xì)光束從射入寶石到第一次射出所需的時(shí)間是$\frac{6L+（9-4\sqrt{3}）d}{c}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題關(guān)鍵是掌握全反射的條件，并判斷能否發(fā)生全反射，能作出光路圖，運(yùn)用幾何知識(shí)求解入射角和折射角．