Question

10．如圖（a）所示，傾角為θ的淺色傳送帶以速率V逆時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)，t=0時(shí)刻將煤塊放在傳送帶的A端，t=2.0s時(shí)煤塊運(yùn)動(dòng)到傳送帶的B端，煤塊運(yùn)動(dòng)的速度v隨時(shí)間t變化的圖象如圖（b）所示．取重力加速度的大小g=10m/s²．
（1）求傳送帶的傾角θ以及煤塊與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（2）若傳送帶以速率v₀=6m/s逆時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)，將煤塊從距離A點(diǎn)s₀=2.5m處輕放上傳送帶的同時(shí)，由于故障原因，傳送帶立即以加速度a₀=4m/s²做勻速運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)?jiān)趫D（c）中畫(huà)出煤塊輕放上傳送帶后傳送帶和煤塊的v-t圖象，并根據(jù)圖象求出傳送帶上黑色痕跡的長(zhǎng)度．
（3）若傳送帶逆時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)的速度v可以調(diào)節(jié)，試推導(dǎo)煤塊從A端由靜止運(yùn)動(dòng)到B端時(shí)的速度v_B隨v變化關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）由v-t圖象可以知道煤塊先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度達(dá)到傳送帶速度后，由于重力沿斜面向下的分力大于摩擦力，煤塊繼續(xù)向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，對(duì)兩個(gè)過(guò)程，由圖象的斜率求得加速度．根據(jù)牛頓第二定律分別列式，可求出傳送帶的傾角θ和動(dòng)摩擦因數(shù)．
（2）分段分析煤塊的運(yùn)動(dòng)情況v-t圖象，畫(huà)出由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出煤塊和傳送帶的位移，得到它們間的相對(duì)位移，即可得到傳送帶上黑色痕跡的長(zhǎng)度．
（3）討論傳送帶的速度范圍，分析煤塊的運(yùn)動(dòng)情況，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解煤塊從A端由靜止運(yùn)動(dòng)到B端時(shí)的速度v_B隨v變化關(guān)系式．

解答 解：（1）0～1s，煤塊運(yùn)動(dòng)的加速度為：
a₁=$\frac{△{v}_{1}}{△{t}_{1}}$=$\frac{8}{1}$=8m/s²．
由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得：
mgsinθ+μmgcosθ=ma₁．
1～2s，煤塊運(yùn)動(dòng)的加速度為：
a₂=$\frac{△{v}_{2}}{△{t}_{2}}$=$\frac{12-8}{1}$=4m/s²．
由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得：
mgsinθ-μmgcosθ=ma₂．
聯(lián)立解得：θ=37°（或sinθ=0.6，或cosθ=0.8），μ=0.25
（2）作圖思路：由圖（b）知，0～2s內(nèi)煤塊的位移就是A、B之間的距離l，則：
l=$\frac{1}{2}$×8×1m+$\frac{1}{2}$×（8+12）×1m=14m
傳送帶勻速運(yùn)動(dòng)，煤塊勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t速度相同為v₁，即為：
v₁=v₀-a₀t=a₁t
解得：t=0.5s，v₁=4m/s
此過(guò)程中，煤塊的位移為：
s₁=$\frac{{v}_{1}t}{2}$=$\frac{4×0.5}{2}$=1m
傳送帶又經(jīng)過(guò)時(shí)間t′速度減為0，即：
0=v₀-a₀（t+t′）
解得：t′=1s
傳送帶靜止后，煤塊又經(jīng)過(guò)時(shí)間△t運(yùn)動(dòng)至B端，由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得：
l-s₀-s₁=$\frac{1}{2}$[v₁+v₁+a₂（t′+△t）]
解得：△t=0.5s
傳送帶、煤塊的v-t圖象如圖所示．

0～0.5s內(nèi)，煤塊相對(duì)傳送帶上滑的位移為陰影部分1的面積：△s₁=1.5m
0.5～2.0s內(nèi)，煤塊相對(duì)傳送帶下滑的位移為陰影部分2的面積，為：△s₂=8.5m
所以傳送帶上黑色痕跡的長(zhǎng)度是8.5m．
（3）1°傳送帶的速度v≥4$\sqrt{14}$m/s時(shí)，煤塊以加速度a₁勻加速到B，則
  ${v}_{B}^{2}$=2a₁l
解得 v_B=4$\sqrt{14}$m/s
2°傳送帶的速度在0≤v≤4$\sqrt{14}$m/s，煤塊先加速度a₁勻加速到x，再以加速度a₂勻加速運(yùn)動(dòng)l-x．
則 v²=2a₁x
${v}_{B}^{2}$-v²=2a₂（l-x）
解得 v_B=$\sqrt{\frac{{v}^{2}}{2}+112}$m/s
答：（1）傳送帶的傾角θ是37°，煤塊與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ是0.25；
（2）在圖（c）中畫(huà)出煤塊輕放上傳送帶后傳送帶和煤塊的v-t圖象如圖，傳送帶上黑色痕跡的長(zhǎng)度是8.5m．
（3）1°傳送帶的速度v≥4$\sqrt{14}$m/s時(shí)，v_B=4$\sqrt{14}$m/s.2°傳送帶的速度在0≤v≤4$\sqrt{14}$m/s時(shí)，v_B=$\sqrt{\frac{{v}^{2}}{2}+112}$m/s．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清物塊在傳送帶上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行研究，要靈活選擇運(yùn)動(dòng)學(xué)公式．