Question

5．月球繞地球轉動的周期為T，軌道半徑為r，則地球的質量為$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，若地球的半徑為R，則地球的密度為$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$．

Answer 1

分析 （1）由萬有引力提供向心力的周期表達式，可得地球質量．
（2）依據(jù)球體的體積公式，可表示地球體積，在聯(lián)合質量，可得地球密度．

解答 解：設M為地球質量，m為月球質量由萬有引力提供向心力：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$r，解得：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$；
地球體積為：V=$\frac{4}{3}$πR³，
地球的密度：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$；
故答案為：$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$；$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$．

點評 該題是一道萬有引力的考題，重點方法是萬有引力提供向心力的應用．明確星體表面物體與空中物體表達式的區(qū)別．