Question

（2011?石景山區(qū)一模）如圖所示，圓心在原點(diǎn)、半徑為R的圓將xOy平面分為兩個(gè)區(qū)域，在圓內(nèi)區(qū)域Ⅰ（r≤R）和圓外區(qū)域Ⅱ（r＞R）分別存在兩個(gè)勻強(qiáng)磁場，方向均垂直于xOy平面．垂直于xOy平面放置兩塊平面熒光屏，其中熒光屏甲平行于x軸放置在
y=-2.2R的位置，熒光屏乙平行于y軸放置在x=3.5R的位置．現(xiàn)有一束質(zhì)量為m、電荷量為q（q＞0）、動能為E₀的粒子從坐標(biāo)為（-R，0）的A點(diǎn)沿x軸正方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ，最終打在熒光屏甲上，出現(xiàn)亮點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0.4R，-2.2R）．若撤去圓外磁場，粒子也打在熒光屏甲上，出現(xiàn)亮點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-2.2R），此時(shí)，若將熒光屏甲沿y軸負(fù)方向平移，發(fā)現(xiàn)亮點(diǎn)的x軸坐標(biāo)始終保持不變．不計(jì)粒子重力影響．
（1）求在區(qū)域Ⅰ和Ⅱ中粒子運(yùn)動速度v₁、v₂的大��；
（2）求在區(qū)域Ⅰ和Ⅱ中磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁、B₂的大小和方向；
（3）若上述兩個(gè)磁場保持不變，熒光屏仍在初始位置，但從A點(diǎn)沿x軸正方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ的粒子束改為質(zhì)量為m、電荷量為-q、動能為3E₀的粒子，求熒光屏上出現(xiàn)亮點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：由于洛倫茲力對粒子不做功，則運(yùn)動的速度由粒子的動能求得．在沒有圓外磁場時(shí)，粒子從A點(diǎn)射入，完成

1

4

圓弧后射出．因此可以根據(jù)圓形磁場的半徑來求出B₁磁場大小與方向．當(dāng)粒子沿y軸負(fù)方向射入磁場B₂時(shí)，根據(jù)打到熒光屏甲上的坐標(biāo)，結(jié)合幾何關(guān)系，可以算出磁場B₂的大小與方向．
當(dāng)改變電荷的電性及初動能時(shí)，由B₁磁場大小與方向可求出粒子的運(yùn)動軌道半徑，再由B₂磁場大小與方向可求出粒子在此的軌道半徑．從而由幾何關(guān)系可確定粒子打到熒光屏的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由于在磁場中運(yùn)動時(shí)洛侖茲力不做功，所以在區(qū)域Ⅰ和Ⅱ中粒子運(yùn)動速度大小就是在A點(diǎn)入射時(shí)初始速度大小v，由E0=

1

2

mv2可得
v1=v2=v=

2E0 m

（2）粒子在區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動了四分之一圓周后，從C點(diǎn)沿y軸負(fù)方向進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ的磁場．如圖1所示，圓周運(yùn)動的圓心是O₁點(diǎn)，半徑為

r₁=R
由qv1B=m

v 2 1

r1

，得B1=

mv1

qr1

=

2mE0

qR

 
方向垂直xoy平面向外．  
粒子進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ后做半徑為r₂的圓周運(yùn)動，由qv2B2=m

v 2 2

r2

，
可得r2=

mv2

qB2

，
圓周運(yùn)動的圓心O₂坐標(biāo)為（r₂，-R），圓周運(yùn)動軌跡方程為
(x-r2)2+(y+R)2=

r

2 2

將N點(diǎn)的坐標(biāo)（0.4R，-2.2R）代入上式，可得
r₂=2R   
求得：B2=

mv2

qr2

=

2mE0

2qR

方向垂直xoy平面向里．   
（3）如圖2所示，粒子先在區(qū)域Ⅰ中做圓周運(yùn)動．由3E0=

1

2

mv′2可知，
運(yùn)動速度為           v′=

6E0 m

=

3

v
軌道半徑為      r3=

mv′

qB1

=

3

mv

qB1

=

3

R 
由圓心O₃的坐標(biāo)（-R，

3

R）可知，O₃A與O₃O的夾角為30°．通過分析如圖的幾何關(guān)系，粒子從D點(diǎn)穿出區(qū)域Ⅰ的速度方向與x軸正方向的夾角為θ=60°
粒子進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ后做圓周運(yùn)動的半徑為
r4=

mv′

qB2

=2

3

mv

qB1

=2

3

R    
其圓心O₄的坐標(biāo)為（Rcos60°+r₄cos30°，Rsin60°-r₄sin30°），
即（

7

2

R，-

3

2

R），說明圓心O₄恰好在熒光屏乙上．所以，亮點(diǎn)將出現(xiàn)在熒光屏乙上的P點(diǎn)，
其y軸坐標(biāo)為y=-

3

2

R+r4=

3 3

2

R
其x軸坐標(biāo)為x=3.5R．

點(diǎn)評：根據(jù)粒子的坐標(biāo)，定出圓心，并畫出運(yùn)動軌道，由幾何關(guān)系來確定半徑，從而求出磁感應(yīng)強(qiáng)度大小及判定其方向．值得注意的是：磁場方向相反時(shí)粒子運(yùn)動圓弧所對應(yīng)的圓心在一條直線上．